§ 7. Работа электрических сил. Независимость ее от формы пути. Непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е

1. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда на отрезок равна

В частности, работа А при перемещении единичного положительного заряда равна

Наконец, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути равна

где знак интеграла означает, что необходимо вычислить сумму значений подынтегрального выражения для всех элементов линии Эта операция называется интегрированием по линии

2. Работа электрических сил на данном пути вообще говоря, может зависеть как от положения начальной и конечной точек пути, так и от формы пути. Однако, как мы сейчас покажем, электрическое поле неподвижных зарядов обладает той чрезвычайно важной особенностью, что работа сил этого поля на пути между двумя произвольными точками зависит только от положения этих точек и вовсе не зависит от формы пути. Силовые поля, обладающие этой особенностью, называются полями консервативными или потенциальными.

Заметим, что в потенциальном поле работа сил поля на всяком замкнутом пути должна равняться нулю. Действительно, всякий замкнутый путь можно произвольным образом разбить на две части и (рис. 9).

Рис. 9

Работа на пути равна, очевидно, взятой с обратным знаком работе на том же пути при прохождении его в обратном направлении от к которая в свою очередь в потенциальном поле по условию равна работе на пути Стало быть, общая работа на всем замкнутом пути равна нулю, что и требовалось доказать.

Обратно, если работа сил поля на всяком замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил на пути между двумя произвольными точками формы этого пути не зависит, т. е. поле это потенциальное. Действительно, рассмотрим два произвольных пути и ведущих из (см. рис. 9). Составим из них замкнутый путь Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю. Стало быть, работа на участке пути равна взятой с обратным знаком работе на пути или, иными словами, равна работе на пути что и требовалось доказать.

Итак, равенство нулю работы на произвольном замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы пути и может считаться отличительным признаком потенциального поля. Вообще поле произвольного вектора вне зависимости от его физического смысла (сила, скорость и т. д.), является полем потенциальным в том и только в том случае, если при любом выборе замкнутого пути интегрирования

Линейный интеграл произвольного вектора вдоль какого-либо произвольного замкнутого пути называется циркуляцией этого вектора вдоль пути Таким образом, условие (7.3) сводится к требованию, чтобы циркуляция вектора по любому замкнутому пути равнялась нулю.

Рис. 10

3. Переходя к доказательству потенциального характера электростатического поля, рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного (точечного) заряда Работа этих сил при бесконечно малом перемещении «пробного» единичного положительного заряда равна (рис. 10):

где есть проекция перемещения пробного заряда на радиус-вектор проведенный из возбуждающего поле заряда Как явствует из чертежа, есть вместе с тем приращение числового значения радиуса-вектора увеличение расстояния пробного заряда от заряда Поэтому работа А может быть представлена в форме полного дифференциала скалярной функции точки

где есть числовое значение радиуса-вектора Следовательно, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда из точки в точку по конечному пути равна (рис. 11):

где расстояния начальной и конечной точек пути от заряда Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижного элементарного (точечного) заряда действительно зависит только от положений начальной и конечной точек этого пути и, стало быть, вовсе не зависит от формы пути. Так, например; работа электрических сил на пути (рис. 11) равна работе на пути избыточная работа, совершаемая на пути V при перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к заряду на последнем участке пути

Рис. 11

Итак, поле неподвижного элементарного (точечного) заряда есть поле потенциальное. Очевидно, что сумма потенциальных полей есть тоже поле потенциальное, ибо если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее тоже не зависит. Так как поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из элементов этих зарядов, то, стало быть, всякое электростатическое поле есть поле потенциальное и удовлетворяет условию (7.3).

4. Интегральное условие (7.3) может быть преобразовано в дифференциальное. Согласно известной теореме векторного анализа (29, слагающая ротора вектора по произвольному направлению в произвольной точке поля равна

означает бесконечно малую площадку, проходящую через точку и перпендикулярную вектору В числителе справа стоит циркуляция вектора по контуру этой площадки которая согласно (7.3) обращается в нуль. Стало быть, Ввиду произвольности направления это означает, что ротор вектора во всех точках электростатического поля равен нулю:

Обратно, из (7.6) на основании известной из векторного анализа теоремы Стокса (27 следует (7.3), так что интегральное и дифференциальное условия (7.3) и (7.6) вполне эквивалентны друг другу.

5. Из условия (7.3) следует, в частности, непрерывность тангенциальных слагающих напряженности поля [в отличие от слагающих нормальных; см. уравнение (4.3)], т. е. следует, что слагающие напряженности, касательные к произвольной поверхности в любой ее точке, имеют по обе стороны поверхности одинаковые значения.

Действительно, допустим противное, и пусть вдоль поверхности (рис. 12) нарушается непрерывность тангенциальных слагающих вектора Это значит, что если суть две пары разделенных поверхностью но бесконечно близких друг к другу точек, то работа электрических сил на пути отличается на конечную величину от работы этих сил на бесконечно близком пути С другой стороны, ввиду конечности сил поля работа их на бесконечно малых отрезках бесконечно мала. Стало быть, работа сил поля на замкнутом пути должна отличаться от нуля. Другими словами, из сделанного нами допущения следует, что работа поля при перенесении пробного заряда по замкнутому пути отлична от нуля, что в электростатическом поле невозможно.

Рис. 12

Итак, при любом выборе поверхности тангенциальные к ней слагающие электрического вектора остаются непрерывными.

Иными словами, если единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к произвольной поверхности то

где значения слагающих вектора по направлению по обе стороны поверхности

В частности, так как напряженность поля внутри проводников равна нулю, то тангенциальная слагающая их внешней поверхности тоже должна равняться нулю. Стало быть, у поверхности проводников электрический вектор направлен нормально к их поверхности и уравнение (5.1) может быть написано так: