§ 51. Пондеромоторное взаимодействие токов. Коэффициент взаимной индукции

1. Рассмотрим теперь взаимодействие двух замкнутых линейных токов обтекающих контуры Пусть суть значения напряженности и векторного потенциала поля первого тока, соответственные величины для второго тока. Далее, обозначим через магнитный поток поля первого тока через контур второго тока:

где есть поверхность, опирающаяся на контур элемент длины этого контура [ср. уравнение (50.2)]. Магнитный поток, посылаемый вторым током через контур первого тока, мы обозначим соответственно через

Внося в уравнение (51.1) значение (46.3) вектор-потенциала линейного тока

получим

где интегрирование должно быть произведено по обоим контурам причем каждый элемент длины контура должен быть скалярно помножен на каждый элемент и полученное произведение разделено на расстояние элементов друг от друга. Совершенно аналогичным путем найдем

2. Двойной интеграл, входящий в выражения для обозначается обыкновенно через

и носит название коэффициента взаимной индукции контуров (смысл этого названия выяснится в гл. V, когда будет установлена связь между коэффициентом и индукционным взаимодействием токов). Внося это обозначение в выражения для получим

Коэффициент взаимной индукции есть, конечно, чисто геометрическая величина, зависящая лишь от конфигурации и взаимного расположения контуров и от выбора направления положительного обхода каждого из этих контуров.

Однако на основании равенства (51.4) можно сказать, что коэффициент взаимной индукции контуров численно равен магнитному потоку, посылаемому через один из этих контуров (например током силы с, циркулирующим по другому контуру

3. Согласно уравнениям (50.4) и (51.4) потенциальная функция тока в поле тока равна

Точно таким же образом выразится и потенциальная функция тока в поле тока

Величина (или равная ей величина играет роль взаимной потенциальной энергии токов в том смысле, что работа пондеромоторных сил взаимодействия этих токов при перемещении любого из них или обоих одновременно равна убыли функции В частности, обобщенные пондеромоторные силы взаимодействия этих токов согласно уравнению (50.6), равны взятым с обратным знаком производным от по соответствующим обобщенным координатам Так как, согласно (50.5), при определении работы этих сил по изменению величины силу

токов нужно считать постоянной, то [ср. уравнения (50.5) и (50.4)]

и

4. Из приведенных формул явствует, между прочим, что механическое взаимодействие замкнутых токов (в отличие от взаимодействия элементов тока, — см. § 43) удовлетворяет принципу равенства действия и противодействия, ибо силы, испытываемые каждым из взаимодействующих токов, определяются производными от одной и той же функци зависящей лишь от относительного расположения обоих контуров.

Поясним это утверждение на простейшем примере. Пусть расстояние между центрами двух параллельных круговых токов Силы действующие соответственно на контуры по направлению возрастания расстояния I, равны

Если то силы стремятся увеличить расстояние I, т. е. сводятся к взаимному отталкиванию контуров в противном же случае они сводятся к притяжению этих контуров. Существенно, однако, что в обоих случаях силы численно равны и противоположны по направлению, т. е. удовлетворяют третьему закону Ньютона.

Подобно этому если равно углу между плоскостями двух контуров то обобщенная сила представляет собой момент пары сил, стремящейся увеличить угол а. Как и в предшествующем случае, легко убедиться, что моменты пар приложенных к численно равны и противоположны по направлению.

5. Если токи нельзя считать линейными, т. е. если поле одного из этих токов заметно изменяется на протяжении сечения другого тока, то взаимную потенциальную «энергию» токов можно определить, исходя из уравнения (50.8). Если есть плотность тока в первом токе объема плотность тока во втором токе объема то, согласно (50.8), потенциальная функция тока в поле тока будет равна

а потенциальная функция тока в поле тока будет равна

Внося в эти уравнения выражения (46.1) вектор-потенциалов токов

получаем

где есть расстояние между элементом объема плотность тока в котором равна и элементом объема плотность тока в котором равна

Пример. Два одинаковых контура имеют форму квадратов со стороной а Стороны обоих квадратов параллельны друг другу, а центры квадратов лежат на расстоянии друг от друга на прямой, перпендикулярной их плоскостям. Определить коэффициент взаимной индукции этих квадратов и силу с которой притягиваются контуры, если по ним текут одинаково направленные токи

Рис. 52

В двойном интеграле формулы (51 3)

все члены, относящиеся к взаимно перпендикулярным парам элементов равны нулю. Поэтому в рассматриваемом случае выражение для сводится к сумме интегралов, относящихся к парам параллельных сторон квадратов Для двух параллельных прямых длиной а, находящихся на расстоянии друг от друга (рис. 52), имеем

где суть текущие координаты точек обоих отрезков, отсчитываемые от их центров Интегрирование по частям каждого из членов разности,

получаемой после подстановки вместо его значений дает

Подставляя для значения получим для всего членов, которые после сокращения и приведения сведутся к трем:

Комбинируя попарно параллельные стороны квадратов получим четыре пары отрезков, расстояние между которыми равно и другие четыре пары, для которых первые четыре пары обтекаются параллельными, а вторые четыре противоположно направленными токами Таким образом, коэффициент взаимной индукции этих квадратов равен

или

Чтобы определить силу притяжения между квадратами, достаточно воспользоваться формулой (51.9), положив в ней обобщенную координату равной ибо сила действует в направлении, обратном координате а, т. е. стремится уменьшить расстояние между квадратами Стало быть,

Выполнив дифференцирование, мы после некоторых алгебраических преобразований получим

Дальнейшие примеры на вычисление взаимной индукции, а также коэффициента самоиндукции будут приведены в § 81.