§ 9. Понятие тензора

1. В геометрии и различных разделах физики часто приходится рассматривать скалярные функции векторных аргументов.

Особенно важную роль играет рассмотрение таких функций, которые обладают свойством линейности.

Будем говорить, что задана скалярная функция векторного аргумента если всякому значению поставлено в соответствие число

Эта функция называется линейной, если для всяких значений ее аргумента выполняется условие

и для всякого значения аргумента и числа к —1 условие

Выражая вектор через его координаты и пользуясь свойствами линейности, мы получим

Рассмотрим вектор а, ковариантные координаты которого равны результатам подстановки масштабных векторов системы координат под знак рассматриваемой линейной функции

В таком случае мы будем иметь

Величина а следовательно, и вектор а не будут зависеть от выбора масштабных векторов. Таким образом, всякой линейной функции одного векторного аргумента можно сопоставить некоторый постоянный вектор так, что значение функции будет равно скалярному произведению этого вектора на значение векторного аргумента.

2. Скалярная функция многих векторных аргументов

называется линейной, если она удовлетворяет условиям линейности по отношению к каждому из своих аргументов так, что

По аналогии с тем, как функции одного аргумента соответствует некоторый вектор, считается, что всякой линейной функции многих векторных аргументов соответствует величина особого рода, которая называется тензором.

Число независимых аргументов, входящих под знак линейной функции, называется валентностью тензора; с точки зрения этого определения вектор есть одновалентный тензор.

Подставляя в выражение линейной функции координатные векторы во всевозможных комбинациях, мы получим систему величин, которые будем обозначать одной буквой с индексами внизу так, чтобы эти индексы соответствовали индексам подставленных координатных векторов:

вообще

Величины получающиеся в результате подстановки координатных векторов в выражение линейной векторной функции, называются ковариантными координатами тензора, соответствующего этой функции. Одновалентный тензор, как нам это уже известно, имеет две ковариантные координаты:

двухвалентный тензор имеет четыре координаты:

трехвалентный тензор имеет восемь координат:

Вообще -валентный тензор имеет координат.

Значение всякой линейной функции можно выразить через ковариантные координаты соответствующего тензора и контравариантные координаты векторных аргументов. Для этого выразим кдждый аргумент через его координаты и подставим его значение в выражение функции.

Пользуясь свойствами линейности, мы можем представить

в виде многократной (в данном случае трехкратной) суммы

Но величины

являются ковариантными координатами тензора, соответствующего линейной функции и

или в развернутом виде

Пользуясь терминологией, принятой в алгебре, мы можем сказать, что значение линейной функции векторных аргументов выражается -линейной формой, содержащей рядов переменных,

значения которых равны контразариантным координатам векторных аргументов

а коэффициенты этой формы равны значениям ковариантных координат тензора, соответствующего данной функции.

3. Перейдем к рассмотрению примеров.

Скалярное произведение двух векторов

является линейной функцией этих векторов, и следовательно, ему соответствует некоторый тензор второй валентности. Этот тензор называется метрическим тензором плоскости. Ковариантные координаты метрического тензора по определению равны скалярным произведениям масштабных векторов, т. е. элементам метрической

они удовлетворяют условиям

т. е. не меняются при перестановке индексов. Тензор, удовлетворяющий этим условиям, называется симметричным. Таким образом, метрический тензор есть симметричный тензор второй валентности.

Косое произведение двух векторов

тоже является линейной функцией этих векторов, и следовательно, ему также соответствует некоторый тензор второй валентности. Этот тензор называется дискриминантным. Ковариантные координаты этого тензора равны косым произведениям координатных векторов, т. е. элементам дискриминантной матрицы

они удовлетворяют условиям

Тензор, удовлетворяющий таким условиям, называется кососимметричным. Таким образом, дискриминантный тензор есть кососимметричный тензор второй валентности.