§ 42. Развертывающиеся и фокальные поверхности конгруэнции

1. Чтобы найти развертывающиеся поверхности, принадлежащие конгруэнции, примем во внимание, что параметр распределения этих поверхностей равен нулю. Поэтому из формулы (5) § 41 мы получим дифференциальное уравнение

интегральные кривые которого расположены на сфере единичного радиуса и соответствуют развертывающимся поверхностям конгруэнции. Эти линии составляют сеть, образованную двумя различными действительными, мнимыми или двумя совпавшими семействами линий в зависимости от типа тензора

Таким образом, в области гиперболических лучей конгруэнция содержит два семейства развертывающихся поверхностей, в области параболических лучей эти семейства совпадают между собой, а в области эллиптических лучей действительных развертывающихся поверхностей не существует.

2. Рассмотрим конгруэнцию неэллиптического типа и семейство ее развертывающихся поверхностей. Каждая из них содержит последовательность лучей конгруэнции, а все эти поверхности, вместе взятые, — все лучи конгруэнции. Если все эти поверхности — цилиндрические, то конгруэнция будет цилиндрической, так как направляющий вектор будет в этом случае зависеть только от одного параметра.

Когда все развертывающиеся поверхности — конические, то место их вершин будет кривой линией. Наконец, если все развертывающиеся поверхности имеют ребра возврата, то геометрическим местом этих ребер будет некоторая поверхность, которая называется фокальной поверхностью конгруэнции. Все лучи конгруэнции касаются фокальной поверхности (черт. 44).

В области гиперболических лучей конгруэнцию можно разбить двумя различными способами на семейство развертывающихся

поверхностей. Каждому такому разбиению будет соответствовать своя фокальная поверхность и конгруэнция будет состоять из общих касательных своих фокальных поверхностей.

Каждая фокальная поверхность содержит семейство линий, которые совпадают с ребрами возврата развертывающихся поверхностей одного семейства.

Черт. 44.

Кроме того, на. ней же лежит другое семейство линий, вдоль которых ее касаютсяразвертывающиеся поверхности второго семейства. Но по основному свойству сопряженных направлений направления линий первого семейства должны быть сопряжены направлению линии второго семейства в каждой ее точке. Таким образом, сеть линий, вдоль которых развертывающиеся поверхности конгруэнции гиперболического типа касаются каждой фокальной поверхности, есть сопряженная сеть этой поверхности.

3. По свойству развертывающихся поверхностей касательная плоскость к этой поверхности будет одной и той же во всех точках ее образующей. Если развертывающаяся поверхность принадлежит конгруэнции, то ее касательная плоскость называется фокальной плоскостью конгруэнции. Очевидно, что эта плоскость касается одной из фокальных поверхностей конгруэнции. Через луч гиперболического типа проходят две фокальные плоскости. Так как нормальные векторы этих плоскостей совпадают с нормальными векторами развертывающихся поверхностей конгруэнции и мы можем взять их в любой точке луча, т. е., например, при то согласно (8) § 36 их можно положить равными где символы дифференцирования в направлении линий, соответствующих развертывающимся поверхностям. Но эти векторы ортогональны векторам которые ортогональны лучу конгруэнции и лежат в фокальных плоскостях. Таким образом, угол между фокальными плоскостями конгруэнции равен углу между векторами касающимися линий сферического отображения развертывающихся поверхностей.