§ 99. Эллиптические координаты на центральной поверхности второго порядка
Всякую центральную поверхность второго порядка, очевидно, можно включить в семейство софокусных поверхностей, так что ее уравнение примет вид
Черт. 67.
Не уменьшая общности, можно также считать, что корень уравнения (2) § 98, соответствующий этой поверхности, 
(черт. 67), и тогда ее линейный элемент в эллиптических координатах будет иметь вид
Вводя новые параметры
приведем его к виду
который показывает, что координатная сеть или согласно теореме Дюпена сеть линий кривизны центральной поверхности второго порядка есть сеть Лиувилля.
В заключение отметим одно интересное свойство сетей Риччи п° 3 § 76 поверхностей второго порядка, связанное с теоремой Шаля.
Рассмотрим четыре софокусные поверхности 
из которых три первые проходят через точку 
(черт. 68), а четвертая произвольна.
Черт. 68.
Построим конус второго порядка 
с вершиной в точке Мне образующими, касающимися поверхности 
Каждая из плоскостей 
касающаяся поверхностей (5) в точке 
будет содержать две образующие этого конуса 
Плоскости 
касающиеся конуса вдоль этих образующих, будут касаться и поверхности 
и в силу теоремы Шаля будут перпендикулярны
к касательной плоскости т. е. пересекутся по ее нормали. Но это значит, что нормаль поверхности 
будет полярна ее касательной плоскости относительно конуса 
а так как нормаль и касательная плоскость перпендикулярны, то, значит, нормаль каждой из поверхностей 
является главной осью конуса 
Рассмотрим теперь касательную плоскость одной из поверхностей 
например 
. В ней расположены нормали 
поверхностей 
и (53) и образующие 
конуса 
и так как 
являются главными осями этого конуса, то они направлены по биссектрисам угла 
Но в силу той же теоремы Шаля конгруэнции прямых 
касающихся поверхности 
будут нормальны и касаются линий некоторой геодезической сети (п° 2 § 60), а так как биссекторная сеть этой геодезической сети с касательными 
будет сетью Лиувилля, то геодезическая сеть будет сетью Риччи.
Таким образом, сеть Риччи поверхности второго порядка состоит из таких геодезических линий, касательные которых касаются одной и той же поверхности второго порядка, софокусной с данной.
