§ 52. Основное дифференциальное уравнение векторного поля

1. Пусть вектор определяет векторное поле на поверхности. Его абсолютный дифференциал

можно разложить по векторам данного и дополнительного полей, положив

и так как левая часть равенства зависит линейно от дифференциалов то и коэффициенты его правой части должны иметь вид

Но в силу произвольности значения мы приходим к соотношению

которое мы будем называть основным дифференциальным уравнением векторного поля.

Займемся рассмотрением векторов входящих в правую часть этого уравнения.

Обозначив через модуль вектора а, будем дифференцировать соотношение

Учитывая (1), мы получим

откуда следует, что вектор

т.е. равен логарифмическому градиенту модуля данного вектора,

Мы будем называть вектор трансверсальным вектором поля; он обладает многими замечательными свойствами и играет основную роль во всех вопросах теории поверхностей, связанных с заданием векторного поля.

Прежде всего заметим, что два векторных поля, векторы которых коллйнеарны между собой, имеют одинаковые трансверсальные векторы.

Действительно, если

то

так что

что и доказывает наше утверждение.

Мы будем говорить, что направление вектора переносится параллельно по линии если направляющий орт этого вектора переносится параллельно по этой линии. Если вектор принадлежит полю, то мы будем называть линию трансверсалью этого поля.

Чтобы найти дифференциальное уравнение трансверсали, рассмотрим направляющий орт поля

В силу (2) мы будем иметь

При дифференцировании в направлении трансверсали должно выполняться условие параллельного перенесения

равносильное условию

которое и является дифференциальным уравнением трансверсалей.

Условие (6) показывает, что трансверсальный вектор поля направлен по нормали к трансверсалям этого поля.

2. Рассмотрим поле единичного вектора который можно считать также и направляющим ортом некоторого поля, и вектор а его дополнительного поля.

Так как

то

Сравнивая уравнение

с уравнением

мы видим, что трансверсальные векторы дополнительных полей одинаковы.

Рассмотрим теперь произвольный единичный вектор образующий с вектором угол . В таком случае

и если этот вектор задан вдоль некоторой кривой то при дифференцировании в направлении этой кривой

откуда

Если вектор образует поле, то из (8), имеющего место для любого направления дифференцирования, следует

но

есть трансверсальный вектор поля

Таким образом, трансверсальные векторы двух полей отличаются на градиент скалярной функции, значение которой совпадает со значением угла между векторами этих полей.

В частности, для того чтобы трансверсальные векторы двух полей совпадали, необходимо и достаточно, чтобы угол между векторами этих полей не зависел от точки. Такие поля можно назвать взаимно изогональными.

3. Найдем связь инвариантов векторного поля с векторами Для этого подставим правую часть (1) в выражения ротации и дивергенции и получим

Применяя полученную формулу к полю вектора , получим

но вследствие (2) § 46

и, таким образом,

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы найти трансверсальные векторы единичных векторов координатных линий.

Если линейный элемент имеет вид (7) § 20

то согласно (10) § 20 для орта линии

и, применяя формулу (11), мы получим

Учитывая, что знак координатного угла зависит от направления отсчета, мы получим для трансверсального вектора координатной линии

Однако вследствие (10)

откуда окончательно

В частном случае ортогональной системы координат

4. Лапласово поле характеризуется одновременным обращением в нуль обоих инвариантов, откуда вследствие (11)

Таким образом, для того чтобы поле было лапласовым, необходимо и достаточно, чтобы его трансверсальный вектор был дополнительным к логарифмическому градиенту модуля вектора поля.

Из (14) следует, что вектор соленоида лен.

Рассмотрим такое поле трансверсальный вектор которого удовлетворяет этому условию так, что

Однако в таком случае для векторного поля

и мы будем иметь

так что поле будет лапласовым, а поле изотермическим.

Таким образом, для того чтобы поле было изотермическим, необходимо и достаточно, чтобы его трансверсальный вектор был соленоидальным.

Из (12) следует, кроме того, что линейный элемент поверхности, отнесенной к гармоническому потенциалу поля и его сопряженной функции, имеет в силу (5) и (6) § 47 вид

5. Предположим, что трансверсальный вектор некоторого поля сам образует потенциальное поле, и пусть V есть его потенциальная функция

Рассмотрим векторное поле, орт которого образует угол с вектором данного поля. В таком случае согласно (10) трансверсальный вектор этого поля

но в таком случае и

Оба поля очевидно, потенциальны, так что линейный элемент поверхности

Таким образом, существование поля с градиентным трансверсальным вектором характеризует поверхность, наложимую на плоскость, в частности, если этот вектор равен нулю, то вектор поля является координатным вектором такой системы криволинейных координат, которые соответствуют при наложении на плоскость системе прямоугольных декартовых координат.

6. Единичные векторы двух дополнительных полей а и а и единичный вектор нормали определяют прямоугольный трехгранник, заданный в каждой точке поверхности,

Выразив вектор а через его ковариантные координаты и дифференцируя его, мы будем иметь

В силу (5) § 52 и (14) § 51

Присоединяя аналогичное разложение для и которое получается сразу в силу косой симметрии матрицы коэффициентов разложения производных векторов нормальной тройки (§ 4), мы получим следующую систему разложений: