§ 20. Угол между линиями на поверхности и конформное отображение

1. Углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между касательными к этим линиям (черт. 19).

Предположим, что эти кривые принадлежат одной поверхности. Касательные векторы этих кривых

будем различать, употребляя различные обозначения для символов дифференцирования в направлении первой и второй кривой.

Косинус искомого угла определится по обычной формуле

или через координаты

где

Синус этого угла находится по формуле

или

Полученные формулы показывают, что угол выражается через коэффициенты первой квадратичной формы, т. е. не изменяется при изгибании поверхности и принадлежит ее внутренней геометрии.

2. Для координатных линий мы будем иметь

а для угла между ними

Черт. 19.

Учитывая (2) § 18, мы можем ввести обозначения

и тогда линейный элемент примет вид

где есть угол между координатными линиями. Ортогональная координатная сеть характеризуется видом линейного элемента

Если орт принадлежащий поверхности, образует угол с ортом а линии то

в частности,

но

отсюда и по аналогии получим

3. Если между точками двух поверхностей установлено соответствие так, что угол между двумя кривыми на одной поверхности равен углу между соответствующими кривыми на другой поверхности, то соответствие называется конформным.

Наложимость дает пример конформного соответствия. Однако конформность имеет место и при более общем условии. Действительно, достаточно предположить, что коэффициенты первых квадратичных форм в системе координат, общей по отношению к некоторому соответствию, пропорциональны, чтобы показать, что такое соответствие будет конформным.

В самом деле, допустим, что

и вычислим косинус угла между двумя линиями на второй поверхности

Правая часть выражения, полученная после сокращения на А, очевидно, дает выражение косинуса угла между кривыми, соответствующими данным на первой поверхности, что и доказывает конформность соответствия.