§ 26. Классификация точек поверхности

1. Мы видели, что каждой точке поверхности соответствует кривая второго порядка — индикатриса Дюпена. Как и всякая кривая второго порядка, она может принадлежать к эллиптическому, гиперболическому или параболическому типу. Ниже мы увидим, что эти

возможности действительно могут иметь место для различных поверхностей, или даже для различных точек одной и той же поверхности. В связи с этим точки поверхностей распределяются на три класса и называются эллиптическими, гиперболическими и параболическими в зависимости от того, к какому из этих трех типов принадлежит индикатриса Дюпена, соответствующая этим точкам. Чтобы определйть, к какому классу принадлежит данная точка поверхности, достаточно вычислить коэффициенты второй квадратичной формы в этой точке и составить дискриминант этой формы

Так как величина 8 является дискриминантом старших членов уравнения индикатрисы Дюпена, заданной уравнением (4) § 11, то ее значение и решает вопрос о типе данной точки.

Если в данной точке то точка эллиптическая, если то точка гиперболическая, если же то точка параболическая.

Заметим, что знак 8 совпадает со знаком полной кривизны.

Таким образом, точка будет эллиптической, гиперболической или параболической, если полная кривизна положительна, отрицательна или равна нулю соответственно.

Строго говоря, кроме этих трех возможностей, существует еще и четвертая. Может случиться, что в данной точке все коэффициенты обращаются в нуль одновременно. В таком случае все нормальные сечения имеют кривизну, равную нулю, и понятие индикатрисы Дюпена теряет смысл. Такие точки мы будем называть точками уплощения. Приняв во внимание возможность существования точек уплощения, будем называть точку параболической только в том случае, если но при этом среди коэффициентов второй квадратичной формы, соответствующей данной точке, должны быть и отличные от нуля. Полная кривизна в точке уплощения, очевидно, равна нулю.

2. Если индикатриса Дюпена принадлежит к эллиптическому типу, то в канонической системе координат ее уравнение имеет вид

причем

т. е. радиусы главных кривизн имеют один и тот же знак. Так как выбор направления нормального вектора зависит от нас, то его всегда можно направить таким образом, чтобы были положительными.

Формула Эйлера

сейчас же показывает нам, что в рассматриваемой точке нормальные кривизны всех направлений положительны, т. е. все нормальные

сечения вогнуты. Отсюда следует, что все точки поверхности, достаточно близкие к эллиптической точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости в этой точке (черт. 24).

Обратно, если все точки поверхности, достаточно близкие к данной, лежат по одну сторону касательной плоскости и кривизна нормального сечения не обращается в нуль, то все нормальные сечения, в том числе и сечения главных направлений, имеют кривизну одного знака, так что

и данная точка эллиптическая.

Черт. 24.

При надлежащем выборе ориентации все сечения в эллиптической точке вогнуты. Поэтому в правой части уравнения индикатрисы следует удержать только

Итак, в эллиптической точке индикатриса будет действительным эллипсом.

Если в некоторой точке поверхности индикатриса имеет форму окружности, то эта точка называется омбилической. Так как это возможно только при условии равенства то из формулы Эйлера следует, что все нормальные кривизны равны между собой.

В общей системе координат омбилическая точка характеризуется пропорциональностью соответственных коэффициентов обеих квадратичных форм

так как только при этом условии нормальная кривизна, выражаемая отношением обеих форм, не будет зависеть от направления.

3. Если точка гиперболическая, то

откуда следует, что главные нормальные кривизны имеют разныр знаки. Выбрав направление нормального вектора, мы можем положить

и записать формулу Эйлера в таком виде:

где — положительные числа. Нормальная кривизна в этом случае может принимать положительные и отрицательные значения.

Выясним, для каких направлений сечений имеет место та или другая возможность. Из неравенства следует

Для того чтобы нормальная кривизна была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Проведем в касательной плоскости через точку прикосновения две прямые с угловыми коэффициентами — которые, как легко видеть, совпадают с асимптотами индикатрисы Дюпена (черт. 25).

Эти прямые разделят касательную плоскость на четыре четверти, перенумерованные нами, как это показано на чертеже. Направление прямой, проходящей через точку О из первой в третью четверть, будет соответствовать положительным, а такой же прямой, проходящей из второй четверти в четвертую, — отрицательным значениям нормальной кривизны. Таким образом, все нормальные сечения, проведенные по направлению прямых, заключенных внутри вертикальных углов I и III, будут вогнуты, а нормальные сечения по направлению прямых, проходящих внутри вертикальных углов II, IV, — выпуклы.

Отсюда видно, что, обходя по поверхности точку О по достаточно малому замкнутому контуру, мы должны будем два раза перейти из верхней части пространства в его нижнюю часть и два раза совершить обратный переход, если считать, что пространство Разделено на эти части касательной плоскостью в данной точке. Учитывая распределение выпуклых и вогнутых нормальных сечений,

мы можем заключить, что вблизи гиперболической точки поверхность имеет седлообразное строение (черт. 26).

Переходя к рассмотрению вида индикатрисы Дюпена гиперболической точки, мы должны обратить внимание на то, что для направления с положительной нормальной кривизной ее уравнение имеет вид

а для сечений с отрицательной нормальной кривизной

Черт. 26.

Таким образом, индикатриса в гиперболической точке имеет вид двух сопряженных гипербол, т. е. таких гипербол, которые имеют общие асимптоты, причем действительная ось одной совпадает с мнимой осью другой и наоборот (см. черт. 25).

4. Параболическая точка поверхности характеризуется равенством

Предполагая, что нормальная кривизна выберем направление нормального вектора поверхности так, чтобы было

Черт. 27.

В таком случае уравнение индикатрисы в нормальной системе координат примет вид

а формула Эйлера сведется к соотношению

Отсюда следует, что нормальная кривизна обращается в нуль при и отлична от нуля во всяком другом направлении.

Это положение вещей становится особенно ясным, если принять во внимание форму индикатрисы. Уравнение показывает, что она распадается на пару параллельных прямых (черт. 27)

Радиус-вектор любой точки этих прямых имеет конечное значение. Прямая же, совпадающая с осью параллельна обеим прямым;

соответствующая ее направлению нормальная кривизна равна нулю. Направление оси является одновременно и главным и асимптотическим направлением индикатрисы.

Чтобы выяснить строение поверхности вблизи параболической точки, заметим, что все нормальные сечения можно считать вогнутыми, за исключением сечения, касающегося асимптотического направления индикатрисы. Кривизна этого последнего в рассматриваемой точке равна нулю, так что она является точкой спрямления.

В простейшем случае это будет точка перегиба, и тогда поверхность имеет вблизи данной точки «полуседлообразное» строение, показанное на черт. 28.

Черт. 28.

Однако и точка спрямления может быть точкой выпуклости или вогнутости. В этих случаях поверхность может иметь различное и довольно сложное строение, в рассмотрение которого мы не можем войти.

Отметим, наконец, одно существенное отличие между эллиптическими и гиперболическими точками, с одной стороны, и параболическими точками, — с другой.

Первые два типа точек характеризуются неравенствами или последние же — равенством

Это равенство можно рассматривать как соотношение между криволинейными координатами точек, и оно выражает, вообще говоря, некоторую линию, состоящую из параболических точек. Неравенство же определяют не линии, а целые области эллиптических и гиперболических точек.

Если на поверхности имеются и та и другая области, то при условии непрерывности функций, определяющих уравнение поверхности и их производных, эти области разделяются линией состоящей из параболических точек.

Ниже мы увидим, однако, что не исключена возможность существования и таких поверхностей, для которых условие выполняется тождественно и которые, следовательно, состоят из одних параболических точек.

Что касается точек уплощения, то ввиду большого разнообразия возможностей в строении поверхностей вблизи этих точек мы его рассматривать не будем.

5. В качестве примера приложения классификации точек поверхности рассмотрим различные типы поверхностей второго порядка.

Начнем с некоторых замечаний общего характера.

Всякое плоское сечение поверхности второго порядка есть кривая второго порядка.

Кривизна такой кривой может обратиться в нуль в какой-либо ее точке в том и только в том случае, если эта кривая распадается на пару прямых.

Таким образом, кривизна нормального сечения поверхности второго порядка равна нулю в том и только в том случае, если его плоскость содержит прямолинейную образующую этой поверхности. Отсюда следует, что нормальная кривизна не обращается в нуль в точках нелинейчатых поверхностей второго порядка и обращается в нуль для одного или для двух сечений, если через точку проходят одна или две прямолинейные образующие соответственно.

Если принять, с другой стороны, во внимание, что в эллиптических точках нормальная кривизна не обращается в нуль, а в параболических точках она обращается в нуль для сечения одного направления, а для гиперболических точек для сечений двух направлений, то получаются следующие выводы:

I. Эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид не имеют прямолинейных образующих и, следовательно, состоят из эллиптических точек.

II. Через каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие, следовательно, они состоят из гиперболических точек.

III. Через каждую точку цилиндра и конуса второго порядка проходит одна прямолинейная образующая, вследствие чего они состоят из параболических точек.

Так как всякая точка плоскости есть точка уплощения (все нормальные сечения плоскости — прямые), то к предыдущему можно еще добавить

IV. Если поверхность второго порядка распадается на пару плоскостей, то она состоит из точек уплощения.