§ 89. Геодезические линии поверхностей постоянной кривизны

Если линейный элемент поверхности нулевой кривизны приведен к виду

то любая ее геодезическая выражается уравнением

так как при наложении на плоскость они соответствуют прямым.

Линейный элемент поверхности постоянной положительной кривизны

может быть отождествлен с линейным элементом сферы (2) § 32 путем замены параметров

где

Но геодезические линии сферы есть ее большие круги, т. е. линии пересечения сферы с плоскостями, проходящими через ее центр, и если сфера задана уравнением (1) § 32, то ее геодезические определяются уравнением

Уравнение геодезических линий псевдосферы (7) § 87 может быть записано в следующем виде:

Если мы введем на сфере криволинейные координаты

а на псевдосфере координаты

то мы придем к следующему общему результату: на всякой поверхности постоянной гауссовой кривизны можно ввести криволинейные координаты, так что геодезические линии поверхности выразятся уравнениями, линейными относительно этих координат.

Принимая эти координаты за декартовы координаты плоскости, на которую отображается поверхность постоянной кривизны, можно сформулировать предыдущее так: всякая поверхность постоянной кривизны отображается геодезически на плоскость, или, как говорят еще, является проективной.

Чтобы обратить этот результат, допустим, что некоторая поверхность отображена геодезически на плоскость (50) и вектор а единичный в геометрии образует поле абсолютно параллельных направлений в геометрии (50). В таком случае он удовлетворяет на плоскости уравнению

Так как поле должно оставаться геодезическим после геодезического преобразования, то в силу (5) § 76 и (6) § 55 мы будем иметь для ковариантной производной соответствующего вектора на поверхности

Свертывая последовательно с получим

откуда

а так как градиентные векторы, то трансверсальный вектор поля соленоидален и это поле изотермически-геодезическое (п° 4 § 52).

Вследствие того, что на плоскости существует полей абсолютно параллельных направлений, проективная поверхность допускает существование изотермически-геодезических полей и, Значит, ее гауссова кривизна постоянна § 85).

Таким образом, мы приходим к теореме Бельтрами: для тога чтобы поверхность была проективной, необходимо и достаточног чтобы ее гауссова кривизна была постоянной.

Отсюда и из теоремы Дини следует, что поверхности постоянной кривизны принадлежат к классу поверхностей Лиувилля.