§ 93. Сферическое отображение и изгибание минимальных поверхностей

1. Соотношение (8) § 77 между тензорами основных квадратичных форм принимает для минимальной поверхности вид

и показывает, что минимальная поверхность конформна своему сферическому отображению.

То же условие дает признак наложимости поверхности на минимальную: поверхность отрицательной гауссовой кривизны наложима на минимальную, если при умножении на абсолютную величину этой кривизны линейный элемент поверхности приобретает гауссову кривизну, равную единице.

Достаточность этого условия следует из формулы (7) § 78, которая принимает в данном случае вид

Отсюда согласно (8) § 78 следует существование такой ортогональной сети, чебышевский вектор которой

а согласно п° 2 § 82 такая сеть является виртуально-асимптотической. Но минимальная поверхность характеризуется ортогональностью своей асимптотической сети и, следовательно, данная поверхность наложима на минимальную.

2. Решим задачу о нахождении всех минимальных поверхностей, наложимых на данную минимальную.

Из (1) следует, что если две минимальные поверхности отнесены к общей системе координат, то вследствие совпадения их линейных элементов и гауссовых кривизн совпадают и элементы их сферических отображений.

Однако линейный элемент сферы единичного радиуса выражает и первую и вторую квадратичные формы сферы. Отсюда вследствие теоремы Петерсона вытекает, что сферы с совпадающими линейными элементами можно переместить так, чтобы их соответствующие точки совпали.

Для наложимых минимальных поверхностей это дает в свою очередь то, что их можно переместить в пространстве так, чтобы во всех соответствующих точках касательные плоскости обеих поверхностей стали параллельными.

Произведя такое перемещение, обозначим через радиусы-векторы данной и присоединенной ей поверхности, а через R - радиус-вектор минимальной поверхности, наложимой на данную. Вследствие установленного параллелизма касательных плоскостей будем иметь

а вследствие наложимости и ортогональности

так что можно положить

или

Дифференцируя ковариантно и обозначая тензоры вторых форм соответствующих поверхностей через будем иметь в силу

наложимости и соответствия по параллелизму касательных плоскостей

Свернув с и приняв во внимание, что все три поверхности минимальны, мы получим условие

которое может выполняться только при вследствие ортогональности линейных элементов присоединенных поверхностей. Имея в виду, что можно проинтегрировать уравнение (3), и тогда получим общее уравнение всех минимальных поверхностей, наложимых на данную:

Все поверхности этого семейства называются ассоциированными. Рассмотренное изгибание минимальной поверхности можно считать изгибанием на главном основании, так как при нем сохраняется изотропная сеть, которая на минимальной поверхности является сопряженной.