§ 93. Сферическое отображение и изгибание минимальных поверхностей
1. Соотношение (8) § 77 между тензорами основных квадратичных форм принимает для минимальной поверхности вид
и показывает, что минимальная поверхность конформна своему сферическому отображению.
То же условие дает признак наложимости поверхности на минимальную: поверхность отрицательной гауссовой кривизны наложима на минимальную, если при умножении на абсолютную величину этой кривизны линейный элемент поверхности приобретает гауссову кривизну, равную единице.
Достаточность этого условия следует из формулы (7) § 78, которая принимает в данном случае вид
Отсюда согласно (8) § 78 следует существование такой ортогональной сети, чебышевский вектор которой
а согласно п° 2 § 82 такая сеть является виртуально-асимптотической. Но минимальная поверхность характеризуется ортогональностью своей асимптотической сети и, следовательно, данная поверхность наложима на минимальную.
2. Решим задачу о нахождении всех минимальных поверхностей, наложимых на данную минимальную.
Из (1) следует, что если две минимальные поверхности отнесены к общей системе координат, то вследствие совпадения их линейных элементов и гауссовых кривизн совпадают и элементы их сферических отображений.
Однако линейный элемент сферы единичного радиуса выражает и первую и вторую квадратичные формы сферы. Отсюда вследствие теоремы Петерсона вытекает, что сферы с совпадающими линейными элементами можно переместить так, чтобы их соответствующие точки совпали.
Для наложимых минимальных поверхностей это дает в свою очередь то, что их можно переместить в пространстве так, чтобы во всех соответствующих точках касательные плоскости обеих поверхностей стали параллельными.
Произведя такое перемещение, обозначим через 
радиусы-векторы данной и присоединенной ей поверхности, а через R - радиус-вектор минимальной поверхности, наложимой на данную. Вследствие установленного параллелизма касательных плоскостей будем иметь
а вследствие наложимости и ортогональности 
так что можно положить
или
Дифференцируя ковариантно и обозначая тензоры вторых форм соответствующих поверхностей через 
будем иметь в силу
наложимости и соответствия по параллелизму касательных плоскостей
Свернув с 
и приняв во внимание, что все три поверхности минимальны, мы получим условие
которое может выполняться только при 
вследствие ортогональности линейных элементов присоединенных поверхностей. 
Имея в виду, что 
можно проинтегрировать уравнение (3), и тогда получим общее уравнение всех минимальных поверхностей, наложимых на данную:
Все поверхности этого семейства называются ассоциированными. Рассмотренное изгибание минимальной поверхности можно считать изгибанием на главном основании, так как при нем сохраняется изотропная сеть, которая на минимальной поверхности является сопряженной.
