§ 87. Геодезические линии и геодезические пучки на псевдосфере

1. Возвратимся к общему виду коэффициента линейного элемента псевдосферической поверхности

и вычислим геодезическую кривизну ортогональных траекторий соответствующего изотермически-геодезического поля. Из (13) § 53

следует, что

где

Рассмотрим следующие три возможности:

В соответствии с этими возможностями будем рассматривать геодезические пучки первого, второго и третьего рода. Легко видеть, что замена переменного

в первых двух случаях и включение постоянного множителя в значение переменного позволяют привести линейные элементы псевдосферы к следующим трем видам, соответствующим трем родам пучков:

Произведя замену переменных

мы приведем эти линейные элементы к изотермическому виду

где

2. Если отождествить в случае III криволинейные координаты у точки поверхности с декартовыми координатами соответствующей точки плоскости, то определится конформное отображение псевдосферы на плоскость, причем линейный элемент поверхности будет связан с линейным элементом плоскости соотношением

где у — ордината точки плоскости.

Найдем те линии плоскости, которые будут соответствовать геодезическим линиям псевдосферы. Так как линейный элемент имеет форму линейного элемента поверхности вращения, то уравнение геодезических будет иметь вид (3) § 59 или для данного случая

Полагая получим конечное уравнение геодезических

которое показывает, что при конформном отображении (6) геодезические линии псевдосферы изображаются кругами, центры которых расположены на оси

Отметим, кроме того, что линии изотермического поля изображаются прямыми, параллельными оси

Считая прямые окружностями бесконечного радиуса, мы можем сказать, что любая геодезическая изображается окружностью, ортогональной оси

Так как геодезическую линию, т. е. линию постоянной нулевой кривизны, можно провести по любому направлению и эта линия изображается окружностью, т. е. опять-таки линией постоянной кривизны, то из теоремы § 72 следует, что при конформном отображении (6) всякая кривая постоянной геодезической кривизны псевдосферы изображается окружностью.

Относя плоскость к круговым координатам второго рода и пользуясь формулами (8) и (9) § 74, получим из (6), полагая

т. е. линейный элемент вида Но линии изображающие геодезические, образуют гиперболический пучок. Таким образом, геодезический пучок первого рода изображается гиперболическим

пучком окружностей, ортогональных оси а ортогональные траектории этого пучка, т. е. линии постоянной геодезической кривизны изображаются окружностями эллиптического пучка, пересекающимися на оси

Черт. 59.

Отнесем теперь плоскость к круговым координатам второго рода, тогда в силу (8) и (9) § 74 находим из (6), полагая

Теперь геодезические линии изображаются окружностями эллиптического пучка и, следовательно, геодезический пучок второго рода изображается эллиптическим пучком окружностей, ортогональных оси а ортогональные траектории этого пучка, линии постоянной геодезической кривизны изображаются окружностями гиперболического пучка (черт. 60).

Черт. 60.

Наконец, если мы отнесем плоскость к круговым координатам первого рода, то из (5), (6) § 74 и (6) получим

Таким образом, геодезический пучок третьего рода изображается параболическим пучком окружностей, ортогональных оси а ортогональные траектории этого пучка, линии постоянной геодезической кривизны окружностями, касающимися оси в одной точке (черт. 61).

Черт. 61.

3. Отметим одно интересное свойство пучка третьего рода Вследствие (6) § 60 и (3) расстояние точки второй фокальной поверхности конгруэнции касательных к линиям этого пучка от точки данной псевдосферической поверхности

Но этот же отрезок равен радиусу кривизны ортогональных траекторий геодезического семейства второй фокальной поверхности. Применяя к этой поверхности формулу Лиувилля (6) § 78, мы получим

Таким образом, вторая фокальная поверхность конгруэнции касательных к линиям геодезического пучка третьего рода псевдосферической поверхности есть псевдосферическая поверхность той же кривизны, что и данная. Эта конгруэнция называется псевдосферической; она нормальна и принадлежит классу так как радиусы главных кривизн любой ее ортогональной поверхности

связаны соотношением (8) § 60

4. Как и всякая поверхность, обладающая геодезически-изотермическим полем § 56), поверхности постоянной кривизны наложимы на поверхности вращения. Рассмотрим псевдосферические поверхности вращения.

Если линейный элемент этой поверхности имеет вид

а ее меридиан задан уравнением

то согласно (7) § 30

или

Рассмотрим теперь отдельно три случая пучков геодезических, которым соответствуют линейные элементы (4), введя для кривизны обозначение Тогда для пучка первого рода

Минимальное значение достигается при и максимальное определяется пределом действительности для — и подчинено неравенствам

а его крайним значениям соответствуют значения

Если заметить, кроме того, что меридиан будет симметричен относительно плоскости параллели и его вогнутость обращена к оси вращения, то мы получим форму меридиана и вид поверхности, изображенный на черт. 62.

Для пучка второго рода

Черт. 62.

Черт. 63.

Предельные значения определяются неравенствами

поверхность действительна при а предельные значения производной

откуда и выясняются форма меридиана и вид поверхности (черт. 63).

Для пучка третьего рода

Легко видеть, что уравнение (12) выражает тот факт, что длина отрезка касательной меридиана, ограниченной осью постоянна и равна а. Отсюда следует, что меридиан будет трактрисой, а поверхность — псевдосферой, которую мы уже рассмотрели в § 32.

5. Из (7) § 82 следует, что чебышевский вектор асимптотической сети поверхности постоянной кривизны

т. е. асимптотическая сеть поверхности постоянной кривизны чебышевская.

Согласно п° 3 § 69 всякому изотермически-геодезическому полю будет соответствовать чебышевская сеть, уравнение которой имеет вид

где гармоническая функция, сопряженная геодезическому потенциалу поля. Отсюда следует, что для линейного элемента (9) поверхности постоянной кривизны сеть

будет чебышевской и совпадает с асимптотической сетью поверхности вращения, на которую наложима данная поверхность постоянной кривизны.