§ 60. Конгруэнция касательных к линиям геодезического поля

1. Рассмотрим конгруэнцию, фокальные плоскости которой взаимно перпендикулярны. Каждая такая плоскость является соприкасающейся плоскостью ребра возврата развертывающейся поверхности, расположенного на фокальной поверхности. Так как другая фокальная плоскость, проходящая через тот же луч, касается фокальной поверхности, то первая плоскость нормальна к ней, а отсюда следует, что ребро возврата будет геодезической линией фокальной поверхности.

Таким образом, ребра возврата развертывающихся поверхностей конгруэнции являются геодезическими линиями фокальных поверхностей, если фокальные плоскости конгруэнции взаимно ортогональны.

Очевидно и обратное положение: если все лучи конгруэнции касаются линий геодезического поля на фокальной поверхности, то фокальные плоскости конгруэнции будут взаимно ортогональны.

Рассмотрим конгруэнцию, всякая точка луча которой будет определяться радиусом-вектором

где

— радиус-вектор точки фокальной поверхности, единичный вектор геодезического поля.

Задав параметр как функцию криволинейных координат фокальной поверхности, мы можем рассматривать (1) как уравнение некоторой другой поверхности. Производные от радиуса-вектора точки этой поверхности

Однако легко видеть, что

а в силу (17) § 52 и (6) § 55

Если

где геодезическая кривизна ортогональных траекторий поля. Таким образом,

где а есть геодезический потенциал, то векторы ортогональны лучу конгруэнции, а луч конгруэнции является нормалью поверхности, выражающейся уравнением

где а есть потенциал геодезического поля Мы доказали следующее положение: если фокальные плоскости конгруэнции взаимно перпендикулярны, то конгруэнция нормальна.

Кроме того, мы получили, что абсолютная величина геодезического потенциала равна расстоянию между точками фокальной поверхности и поверхности, которая пересекает под прямым углом все лучи конгруэнции.

При этом следует заметить, что геодезический потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого и в полном соответствии с этим существует параллельных между собой поверхностей, которым нормальны лучи данной конгруэнции.

3. Если положить в формуле (4)

т. е.

то векторы лежат в нормальной плоскости данной поверхности, т.е. в касательной плоскости второй фокальной поверхности. Отсюда следует, что уравнение

в котором есть радиус геодезической кривизны ортогональных траекторий геодезического поля, выражает вторую фокальную поверхность; или иначе: абсолютная величина радиуса геодезической кривизны ортогональных траекторий геодезического поля равна расстоянию между фокальными точками конгруэнции прямых, касающихся линий этого поля.

4. Если мы будем исходить из поверхности (4), которая нормальна лучам конгруэнции, то ее фокальные поверхности будут выражаться уравнениями (2) и (7).

Обозначая через А к В точки этих поверхностей (черт. 46), а через точку поверхности мы видим, что и радиусы главных кривизн поверхности

Черт. 46.

Учитывая направления, мы видим, что радиусы главных кривизн поверхности, пересекающей ортогонально лучи конгруэнции, касательны к линиям геодезического поля,

где а — геодезический потенциал, а — радиус геодезической кривизны ортогональных траекторий этого поля.