§ 46. Дивергенция векторного поля

1. Представим себе, что поверхфсть обтекается тонким слоем жидкости и что движение это установилось, т. е. что вектор скорости V, с которой частица жидкости движется в данной точке поверхности, не зависит от времени.

В этом случае легко вычислить количество жидкости, проходящее в единицу времени через некоторую область поверхности, ограниченную замкнутым контуром

Рассмотрим для этого внешнюю нормаль контура, расположенную в касательной плоскости поверхности, и пусть есть единичный вектор этой нормали. Количество жидкости, протекающее через элемент дуги будет зависеть только от проекции вектора скорости на внешнюю нормаль и будет равно

а количество жидкости, протекающее через весь замкнутый контур, выразится интегралом

который называется потоком вектора V через контур

Повернем теперь векторы и V на прямой угол против часовой стрелки. После этого вектор совпадет с касательным вектором контура указывающим направление положительного обхода, и мы будем иметь

или

Называя поле векторов дополнительным по отношению к полю мы приходим к следующему результату: поток вектора поля через замкнутый контур равен циркуляции вектора дополнительного поля по тому же замкнутому контуру.

Дивергенцией векторного поля называется ротация дополнительного поля или величина

Согласно (7) § 45

или: поток векторного поля через замкнутый контур равен интегралу от дивергенции поля по поверхности той области, которая ограничена этим контуром.

2. Поле называется соленоидальным, если его дивергенция равна нулю в каждой его точке. Соленоидальное поле вполне характеризуется тем, что его дополнительное поле потенциально.

3. Дивергенция градиента скалярной функции называется ее вторым параметром и обозначается Согласно этому определению

Пользуясь определением дивергенции, легко показать, что

откуда вытекает следующее выражение второго параметра сложной функции: