§ 5. Винтовая линия и окружность

1. В дальнейшем мы неоднократно будем встречаться с круговыми векторными функциями. Значения этих функций определяются, как такие единичные векторы, которые расположены в плоскости правой прямоугольной системы координат и образуют

углы с осью причем положительное значение угла отсчитывается по направлению, обратному движению часовой стрелки, наблюдаемому со стороны положительного направлений оси Согласно этому определению

где масштабные орты прямоугольных осей.

Отметим, кроме того, правила дифференцирования векторных круговых функций.

Черт. 4.

Из (1) непосредственно следует, что

2. Применим введенные обозначения для записи параметрического уравнения винтовой линии, т. е. траектории точки, которая участвует одновременно в двух равномерных движениях: поступательном движении по прямой, параллельной неподвижной оси, и вращательном движении вокруг этой оси (черт. 4).

Если эта ось совпадает с осью скорости указанных равномерных движений равны а в начальный момент времени 0 точка находилась на оси на расстоянии а от начала координат, то уравнение движения будет

Полагая

приведем уравнение винтовой линии к следующему виду:

При это уравнение принимает вид

и выражает окружность радиуса а, расположенную в плоскости центр которой совпадает с началом координат.

3. Из (4) следует, что касательный вектор винтовой линии

образует постоянный угол

с плоскостью

Длина дуги винтовой линии

или

В силу (8) вектор главной нормали винтовой линии

откуда следует, что главные нормали винтовой линии пересекают под прямым углом ее ось.

Пользуясь формулами (5) § 4, легко показать, что кривизна и кручение винтовой линии

и, следовательно, постоянны.

Пользуясь указанным в п° 3 § 4 результатом, можно утверждать, что всякая кривая, у которой

есть винтовая линия; если же

то это — окружность радиуса