§ 29. Линии кривизны

1. Линией кривизны называется такая линия, которая в каждой своей точке касается главного направления поверхности, соответствующего этой точке.

Так как главное направление сопряжено ортогональному направлению, принадлежащему поверхности, то нормали линии кривизны, расположенные в касательных плоскостях, образуют развертывающуюся поверхность (черт. 31). Так как нормали кривой, повернутые на прямой угол, будут снова составлять развертывающуюся поверхность (п° 3 § 17), то мы приходим к следующему результату: линия кривизны характеризуется тем, что нормали поверхности образуют вдоль этой линии развертывающуюся поверхность.

Черт. 31.

Отсюда и из той же теоремы § 17 непосредственно вытекает теорема Иоахимсталя: для того чтобы две поверхности пересекались под постоянным углом по линии кривизны одной из этих поверхностей, необходимо и достаточно, чтобы эта линия была линией кривизны и на другой поверхности.

2. Из формулы (10) § 17 следует также, что для дифференцирования в направлении линии кривизны характерно соотношение

где радиус-вектор точки поверхности, ее единичный нормальный вектор.

Умножая обе части скалярно на и вспоминая определение основных квадратичных форм поверхности, получим

нормальная кривизна поверхности, соответствующая тому из главных направлений, которого касается данная линия кривизны, т. е. одна из главных кривизн.

Так мы приходим к формулам Родрига

где — одна из главных кривизн, а дифференцирование происходит по соответствующему главному направлению.

3. Точка огибающей семейства нормалей поверхности, взятых вдоль линии кривизны, должна лежать на оси кривизны этой линии (п° 4 § 17).

Но согласно теореме Менье эта ось пересекает нормаль поверхности в центре кривизны нормального сечения, касающегося данной линии или, в далном случае, — главного направления. Итак, характеристическая точка развертывающейся поверхности нормалей совпадает с центром кривизны главного сечения, касающегося соответствующей линии кривизны. Радиусы-векторы обеих характеристических точек равны, таким образом,

Черт. 32.

Если точка пробегает данную поверхность, то точки описывают поверхности центров или эволютные поверхности (черт. 32). Ребра возврата всезг развертывающихся поверхностей, составленных из нормалей поверхности, принадлежат поверхностям центров, а каждая нормаль данной поверхности касается поверхностей центров в центрах кривизны своих главных сечений.

4. Так как сеть линий кривизны является главной сетью тензора то ее тензор имеет согласно (9) § 21 следующий вид:

5. Тензор сети линий кривизны обращается в нуль при условии

характеризующем омбилические точки. В области этих точек всякую линию следует считать линией кривизны, так как всякое направление, принадлежащее поверхности, будет в этом случае главным.

Чтобы охарактеризовать поверхность, состоящую из омбилических точек, возьмем на ней некоторую точку А и проведем через нее нормальное сечение. Как всякая линия на рассматриваемой поверхности, полученная кривая будет линией кривизны, и нормали поверхности должны образовать вдоль нее развертывающуюся поверхность. Но в таком случае угол наклона всех этих нормалей к плоскости сечения должен быть постоянным и равен нулю, так как нормаль в точке А заведомо лежит в этой плоскости (п° 4 § 17). Таким образом, плоское сечение омбилической поверхности, нормальное в одной из своих точек, нормально и в любой другой своей точке. Проведем теперь общее нормальное сечение поверхности через две фиксированные точки и рассмотрим произвольную точку С,

не расположенную в плоскости этого сечения. Если нормальные сечения, соединяющие точки с точкой С, пересекаются, то нормаль в точке С, очевидно, пройдет через точку их пересечения. Если же нормали в точках будут параллельны, то им будет параллельна и нормаль в точке С.

Итак, все нормали омбилической поверхности или пересекаются в одной точке, или параллельны между собой.

Однако последний случай отпадает, потому что при его наличии вторая квадратичная форма обращается в нуль, и мы имеем дело с плоскостью, которая состоит не из омбилических точек, а из точек уплощения. Остается рассмотреть первый случай. Всякое нормальное сечение, проходящее через некоторую точку, есть плоская кривая, нормали которой пересекаются в одной точке, т. е. окружность. Все эти окружности имеют одну и ту же кривизну, так как точка омбилическая, откуда видно, что омбилическая поверхность есть сфера.

Принимая во внимание, что всякая линия на плоскости или на сфере есть линия кривизны, приходим к такому следствию теоремы Иоахимсталя: поверхность может пересекаться под постоянным углом или соприкасаться со сферой или плоскостью только по своей линии кривизны.