§ 47. Лапласово поле, гармонические функции и изотермические координаты

1. Поле называется лапласовым, если оно одновременно потенциальное и соленоидальное.

В силу результатов п° 2 предыдущего параграфа потенциальное поле будет лапласовым тогда и только тогда, - когда его дополнительное поле тоже потенциально, или, иначе говоря, если его вектор остается потенциальным после поворота на прямой угол.

Применяя поворот к вектору дополнительного поля, мы получим

и если поле было потенциальным, то и поле тоже будет потенциальным. Отсюда следует, что поле, дополнительное к ла-пласову, тоже будет лапласовым.

Потенциальная функция всякого лапласова поля называется гармонической. Чтобы найти все функции гармонические на данной поверхности, запишем условие того, что вектор

будет потенциальным. Таким образом, гармонические функции являются решениями уравнения второго порядка в частных производных

Раскрывая это уравнение и вводя обозначение для коэффициентов, мы приведем его к следующему виду:

где функции которые вполне определяются заданием дискриминантного тензора поверхности. Уравнение (1) называется уравнением Лапласа, соответствующим данной параметризации поверхности, и принадлежит известному классу уравнений Монжа — Ампера.

Так как поле, дополнительное к лапласову, тоже лапласово, то его потенциал будет тоже гармонической функцией. Гармонические функции, соответствующие дополнительным лапласовым полям, называются сопряженными. Из (1) следует, что сопряженные гармонические функции связаны уравнением

2. Мы будем называть изотермическим семейством линий семейство линий уровня гармонической функции, а изотермической функцией такую функцию, линии уровня которой образуют изотермическое семейство; очевидно, что она является также функцией от гармонической функции. Из (6) § 46 следует, что изотермические функции удовлетворяют уравнению

Изотермическим векторным полем мы будем называть такое поле, линии которого образуют изотермическое семейство. Поле, дополнительное к изотермическому, тоже будет изотермическим, так как за направляющие градиенты этих полей можно принять градиенты сопряженных гармонических функций, а так как эти градиенты равны по абсолютной величине, то дополнительные изотермические поля имеют общий интегрирующий множитель.

Изотермической сетью называется ортогональная сеть, образованная семействами линий уровня двух сопряженных гармонических функций.

3. Изотермическими координатами точки поверхности называют значения двух сопряженных гармонических функций, соответствующие этой точке.

Так как поля единичных векторов, касающихся линий изотермических координат связаны с градиентами этих координат очевидными соотношениями

где

то согласно (12) § 45 линейный элемент поверхности, отнесенной к изотермическим координатам, имеет следующий вид:

Этот линейный элемент замечателен тем, что он отличается только множителем от линейного элемента плоскости, отнесенной к прямоугольным декартовым координатам.

Отсюда согласно п° 3 § 20 следует, что если между плоскостью и произвольной поверхностью установлено соответствие так, что прямоугольные координаты точки плоскости равны изотермическим координатам точки поверхности, то это соответствие будет конформным.

В более общем случае, когда мы имеем, кроме данной поверхности, еще другую поверхность, отнесенную к ее изотермическим координатам, то линейный элемент последней будет иметь вид

и, сравнивая его с линейным элементом (6), мы приходим к следующему результату: если между точками двух поверхностей установлено соответствие так, что изотермические координаты соответствующих точек этих поверхностей имеют одинаковые значения, то это соответствие конформно.

Найдем вид, который принимают условия (3), связывающие сопряженные гармонические функции в изотермических координатах Так как они выражают только тот факт, что градиент функции V получен из градиента функции поворотом на прямой угол против часовой стрелки, то они должны сохранить свою форму и значение и при конформном отображении поверхности на плоскость, после которого изотермические координаты станут прямоугольными декартовыми.

Однако в прямоугольных координатах

и

где

Следовательно, уравнения (3) принимают вид

отсюда следует также, что уравнение Лапласа примет в изотермических координатах следующий вид:

Уравнения (8), очевидно, совпадают с основными уравнениями теории функций комплексного переменного, в силу которых функция

есть аналитическая функция своего аргумента

Таким образом, для того чтобы две функции были сопряженными гармоническими функциями на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы они совпадали с действительной и мнимой частью аналитической функции аргумента, действительная и мнимая часть которого совпадает с другой парой сопряженных гармонических функций.

Обозначим через градиенты функций . В силу уравнений (3) они будут связаны соотношениями

Положим, кроме того,

и будем иметь

Отсюда следует, что производная функция (10)

не зависит от направления дифференцирования. Так как единичные векторы плоскости, то по определению скалярного произведения мы будем иметь

Предположим теперь, что —прямоугольные координаты соответствующей точки второй плоскости. В таком случае линейный элемент последней

Таким образом,

где линейный элемент первой плоскости.

Отсюда следует, что соответствие между двумя плоскостями, отнесенными к своим прямоугольным координатам определяемое (9), будет конформным, если функция аналитическая.