§ 21. Семейство линий на поверхности. Ортогональные траектории и сети
1. Однопараметрическое семейство линий на поверхности может быть задано с помощью дифференциального уравнения вида
где 
контравариантные координаты касательного вектора линий семейства, которые в свою очередь заданы как функции
криволинейных координат точки прикосновения. Если эти функции дифференцируемы, то в силу основной теоремы теории дифференциальных, уравнений общее решение уравнения (1) имеет вид
где 
произвольная постоянная, и через каждую точку области существования решения проходит одна и только одна интегральная кривая. Семейство, обладающее этим свойством, называют правильным..
Уравнение (1) можно также представить в следующих равносильных формах:
2. Если семейство задано с помощью своего касательного вектора 
то семейство его ортогональных траекторий, т. е. таких линий, которые пересекают ортогонально каждую кривую данного семейства, проще всего может быть задано уравнением вида
3. Сетью линий на поверхности называется совокупность двух правильных семейств, линии которых, пересекаясь, не касаются друг друга. Направления этих линий в каждой точке называются направлениями сети.
Уравнение всякой линии сети можно получить, интегрируя дифференциальное уравнение
в котором 
являются касательными векторами семейств. Но то же уравнение, очевидно, можно представить и в виде равенства нулю следующей квадратичной формы:
где
Тензор 
представляющий симметрированное произведение дополнительных векторов к касательным векторам сети, называется тензором сети. Направления сети совпадают с его нулевыми направлениями.
Условием того, что линии различных семейств не касаются друг Друга, будет неравенство нулю а — нормы тензора.
Согласно (27) § И тензор, взаимный тензору сети,
или
Если сеть совпадает с координатной, то уравнение (4) должно удовлетворяться при 
условием чего будут равенства
Сеть называется ортогональной, если линии ее различных семейств пересекаются под прямым углом. Признаком такой сети, очевидно, может служить каждое из двух следующих равенств:
Две сети называются аполярными, если направления каждой из них делятся гармонически направлениями другой.
Так как направления сеги являются нулевыми направлениями ее тензора, а направления сети, аполярной данной, должны быть сопряжены относительно ее индикатрисы, то в силу (5) § И и (6) условие аполярности имеет вид
где 
тензор одной сети, 
взаимный тензор другой.
4. Для всякого поля симметричного тензора 
можно построить так называемую главную сеть, линии которой касаются главных направлений тензора.
Так как главное направление сопряжено своему ортогональному, то для каждого из этих направлений
отсюда следует, что уравнение главной сети имеет вид
где
Если а — тензор сети, то направления его главной сети направлены по биссектрисам углов, образуемых линиями данной сети. Такая сеть называется биссекторной по отношению к данной.
