ГЛАВА VIII. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 44. Скалярное поле
Основные понятия теории скалярного и векторного поля могут быть без труда определены для полей, заданных на поверхности.
Пусть каждой точке поверхности отнесено значение скалярной функции 
Параметризуя поверхность, мы будем иметь функцию криволинейных координат
которую будем, как и всегда, считать дифференцируемой.
Линиями уровня скалярного поля называются такие линии на поверхности, всем точкам которых соответствует одно и то же значение скалярной функции, т. е. линии, определяемые уравнением
В точках произвольной линии 
заданной внутренним уравнением
скалярная функция будет функцией параметра
Рассматривая 
как сложную функцию 
и дифференцируя, мы получим
а предполагая, что 
совпадает с натуральным параметром линии 
будем иметь
где
а
— единичный вектор касательной к линии 
Из формулы (3) следует прежде всего, что производная зависит в данной точке скалярного поля только от направления касательной кривой 
и вследствие этого ее называют производной по направлению.
Далее очевидно, что значение производной по направлению не зависит от способа параметризации поверхности, и вследствие этого линейная форма 
инвариантна. Но 
есть вектор, значит, и величины 
являются ковариантными координатами некоторого вектора. Этот вектор называется градиентом функции 
а формула (3) показывает, что производная скалярного поля по направлению равна скалярному произведению градиента поля на единичный вектор данного направления.
Предполагая, что линия 
совпадает с линией уровня так, что
мы будем иметь условие
которое показывает, что градиент скалярного поля направлен по нормали к линии уровня этого поля.
С другой стороны, при дифференцировании в направлении ортогональных траекторий линий уровня
так что модуль градиента равен производной по направлению, нормальному к линии уровня.
Скалярный квадрат градиента называется первым дифференциальным параметром функции 
и обозначается 
а скалярное произведение градиентов двух функций называется их смешанным параметром и обозначается 
.
Согласно этим определениям
