§ 24. Теорема Менье

1. Формула (6) § 23 показывает, что нормальная кривизна линии, проходящей через данную точку поверхности, зависит только от направления ее касательной. Действительно, коэффициенты обеих квадратичных форм можно вычислить, как только задано уравнение поверхности, а отношение дифференциалов определяется направлением касательной. Иначе можно также утверждать, что все кривые поверхности, проходящие через данную точку и имеющие в ней общую касательную, имеют в этой точке равные между собой нормальные кривизны.

Обратимся теперь к рассмотрению кривизны

кривой, которую мы будем называть полной кривизной, чтобы подчеркнуть ее отличие от нормальной кривизны. Зависимость между полной и нормальной кривизной получим, вводя угол между нормальным вектором поверхности и вектором главной нормали кривой

По определению нормальной кривизны

или

Таким образом, полная кривизна зависит от нормальной кривизны и угла который дополняет до прямого угол между касательной плоскостью поверхности и соприкасающейся плоскостью кривой.

Обратно, если соприкасающаяся плоскость кривой на поверхности, в данной ее точке, задана, то она определяет своим пересечением с касательной плоскостью поверхности и касательную прямую данной кривой. Но, зная направление касательной прямой, можно найти нормальную кривизну, и так как угол тоже известен, то полная кривизна определится.

Итак, полная кривизна кривой, расположенной на повехности, определяется заданием положения ее соприкасающейся плоскости.

Или иначе: все кривые на поверхности, имеющие общую точку и общую соприкасающуюся плоскость в этой точке, имеют в ней одинаковые полные кривизны.

Полученный результат позволяет свести рассмотрение кривизны линий, принадлежащих поверхности, к рассмотрению кривизны ее плоских сечений. Действительно, желая рассмотреть произвольную

кривую, пересечем поверхность ее соприкасающейся плоскостью. Полученная плоская кривая будет по доказанному иметь в точке соприкосновения ту же кривизну, что и данная кривая, так как соприкасающиеся плоскости обеих линий, очевидно, совпадают.

2. Среди плоских сечений поверхности, проходящих через данную ее точку, нормальными называют те, плоскости которых содержат нормаль поверхности в этой точке. В этой же точке главная нормаль нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности. При этом возможны два случая: 1) вектор главной нормали и вектор нормали поверхности совпадают; 2) они отличаются знаком. Так как вектор главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости плоской кривой, то в первом случае вектор нормали поверхности направлен в сторону вогнутости, а во втором — в сторону выпуклости нормального сечения. Мы будем называть в первом случае нормальное сечение вогнутым, а во втором случае выпуклым. Свойство вогнутости и выпуклости зависит от выбора направления нормального вектора поверхности, которое, вообще говоря, зависит от нашего произвола и, следовательно, является свойством относительным. В противоположность этому абсолютным является различие или совпадение направлений выпуклости или вогнутости для двух различных нормальных сечений, соответствующих данной точке поверхности.

Обозначим полную кривизну некоторого нормального сечения, соответствующего данной точке, через

Ее значение в данной точке связано с нормальной кривизной поверхности того же направления формулой (2), где угол может иметь одно из двух значений 0 или первое отвечает случаю вогнутости, а второе — случаю выпуклости.

Отсюда

Итак, кривизна нормального сечения и нормальная кривизна поверхности, соответствующая направлению этого сечения, совпадают для вогнутых и отличаются только знаком для выпуклых нормальных сечений.

3. Формула (2) допускает простое геометрическое истолкование. Предположим, что в данной точке поверхности построены два плоских сечения с общей касательной в этой точке, причем одно из них нормальное (черт. 21), а плоскость второго наклонена к плоскости первого под некоторым углом. Для удобства рассуждений предположим, что направление нормального вектора поверхности выбрано так, что это нормальное сечение вогнуто. В таком случае радиус нормальной кривизны равен радиусу кривизны нормального сечения, и формула (2) принимает вид

Построив центры кривизны и С нормального и наклонного сечений, мы сейчас же получаем из этого соотношения так называемую теорему Менье:

Центр кривизны наклонного сечения поверхности совпадает с проекцией на его плоскость центра кривизны нормального сечения, имеющего ту же касательную, что и данное наклонное сечение (черт. 21).

Черт. 21.

Если строить центры кривизны различных наклонных сечений, касающихся между собой в данной точке поверхности, то любой из них будет служить вершиной прямого угла, опирающегося на радиус кривизны нормального сечения, имеющего данную касательную.

Вследствие этого все центры кривизны будут располагаться на окружности, диаметр которой равен радиусу нормальной кривизны, соответствующей данному направлению (черт. 22).

Приняв, кроме того, во внимание, что кривизна любой кривой на поверхности равна кривизне соответствующего плоского сечения, можно сформулировать следующий результат:

Черт. 22.

Центры кривизны всех кривых поверхности, проходящих через данную точку и имеющих в ней общую касательную, расположены на окружности, которая лежит в общей нормальной I плоскости этих кривых и имеет своим диаметром отрезок между точкой поверхности и центром кривизны нормального сечения.

Наконец, в качестве следствия из приведенных соотношений отметим, что из всех кривых поверхности, проходящих через данную точку и имеющих в ней общую касательную, наименьшую кривизну имеют те, соприкасающаяся плоскость которых нормальна поверхности в данной точке. Кривизна других кривых тем больше, чем больше угол в пределе от 0 до между соприкасающейся плоскостью этой кривой и плоскостью нормального сечения.

Этот факт подтверждается и нашим представлением. На приведенных рисунках построены радиусы кривизны нормального сечения

и нескольких наклонных сечений поверхности и изображены сами сечения; кривизна этих сечений увеличивается по мере увеличения угла их плоскости с плоскостью нормального сечения,