§ 34. Резные поверхности
Резной поверхностью называется поверхность, составленная из ортогональных траекторий однопараметрического семейства плоскостей (черт. 40). Если это семейство вырождается в пучок, то эти ортогональные траектории обращаются в окружности, и резная поверхность вырождается в поверхность вращения.
Черт. 40.
Возвращаясь к общему случаю, мы будем называть параллелями резной поверхности ортогональные траектории данного семейства плоскостей, а меридианами — сечения поверхности этими плоскостями.
Нормали резной поверхности, очевидно, лежат в плоскостях меридианов, вследствие чего меридианы являются линиями кривизны поверхности.
Другое семейство линий кривизны совпадает с семейством параллелей, так как последние являются ортогональными траекториями меридианов.
Чтобы составить уравнение резной поверхности, рассмотрим уравнение одной ее параллели, которую будем называть начальной:
считая и ее натуральным параметром.
В каждой точке этой линии мы введем местную систему координат, образованную двумя взаимно перпендикулярными нормальными векторами этой кривой:
В таком случае уравнение любого меридиана может быть записано в следующем виде:
Потребуем, чтобы нормали, содержащие 
описывали развертывающиеся поверхности. Для этого достаточно положить согласно (13) § 17 и (11) § 17
В таком случае
и
Но параллели, 
линии 
должны быть ортогональными траекториями плоскостей, содержащих векторы 
что имеет место только в том случае, когда функции 
и С не зависят от и, а. это показывает, что все меридианы резной поверхности конгруэнтны между собой. Последнее свойство позволяет утверждать, что резная поверхность описывается кривой, которая расположена в плоскости, катящейся без скольжения по некоторой развертывающейся поверхности (огибающей данного семейства плоскостей).
По доказанному уравнение резной поверхности имеет вид
где 
определены по формулам 
суть длина дуги, кручение и векторы главной нормали и бинормали кривой (1). Линейный элемент поверхности имеет вид:
