ГЛАВА IV. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
§ 18. Местная система координат и метрический тензор поверхности
1. Координатные векторы 
поверхности независимы между собой и, следовательно, определяют в касательной плоскости аффинную систему координат, которую мы будем называть местной системой, соответствующей точке прикосновения этой плоскости к поверхности.
Про всякий вектор, принадлежащий касательной плоскости, или тензор, определяющий полилинейную функцию таких векторов, мы будем говорить, что они принадлежат поверхности в точке прикосновения данной касательной плоскости. Мы будем всегда задавать такие векторы и тензоры их контравариантными, ковариантными или смешанными координатами по отношению к местной системе координат в той же точке прикосновения. Если вектор или тензор, принадлежащий поверхности, задан в каждой ее точке или в каждой точке некоторой ее области, то мы будем говорить, что на поверхности задано векторное или тензорное поле. Координаты вектора или тензора такого поля, очевидно, являются функциями криволинейных координат точки поверхности. Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, что эти функции дифференцируются столько раз, сколько это требуется для решения задачи.
2. Важнейшим примером тензора, принадлежащего поверхности, является метрический тензор. Его ковариантные координаты определяются равенствами
и, очевидно, являются функциями криволинейных координат. Во всех неособых точках поверхности они подчиняются неравенствам
Эти неравенства могут быть нарушены только в особых точках, но мы уже согласились исключать эти точки из нашего рассмотрения,
3. Плоская местная система координат может быть дополнена до пространственной системы добавлением к векторам третьего вектора, не лежащего в касательной плоскости. Удобнее всего взять за такой вектор - единичный нормальный вектор поверхности, т. е. вектор
Заметив, что согласно известному тождеству векторной алгебры
будем иметь
Ориентация нормального вектора, определенного по формуле (4), очевидно, зависит от того, какая из координатных линий считается первой, а какая второй. Этот выбор зависит от нашего произвола, но, остановившись на нем, мы будем условно называть внешней ту сторону поверхности, куда направлен вектор 
Координаты дискриминантного тензора, принадлежащего поверхности, мы определяем по формулам
Нетрудно видеть, что при этом поворот вектора а на прямой угол, определяемый соотношением
происходит против движения часовой стрелки, если его наблюдают с внешней стороны поверхности.
4. При преобразовании параметров
векторы местной системы подвергаются линейному преобразованию
Таким образом, коэффициенты линейного преобразования, которому подвергаются координаты векторов и тензоров при дифференцируемом преобразовании криволинейных координат на поверхности, равны частным производным от новых координат по старым. Очевидно также, что коэффициенты обратного преобразования равны частным производным от старых координат по новым. Зная выражение этих коэффициентов, мы можем найти по формулам (9) и (10) § 6, (18) и (19) § 10 закон преобразования ковариантных, контравариантных и смешанных координат векторов и тензоров, принадлежащих поверхности,
