§ 33. Винтовые поверхности

Если плоская кривая вращается равномерно вокруг оси, расположенной в ее плоскости, и вместе с тем движется равномерно и поступательно в направлении этой оси, то она описывает при этом винтовую поверхность. Принимая ось за ось вращения и

предполагая, что плоская кривая, описывающая поверхность, задана параметрическим уравнением

получим параметрическое уравнение винтовой поверхности

и выражение ее линейного элемента

которое показывает, что винтовая поверхность наложима на поверхность вращения (§ 30).

При винтовая поверхность вырождается в поверхность вращения.

Если образующая линия поверхности прямая, то поверхность называется геликоидом, который называется прямым (черт. 39), если образующая прямая составляет с осью вращения прямой угол, и косым, если этот угол острый.

Черт. 39.

Для геликоида можно положить

и его уравнение имеет вид

а его линейный элемент

Наконец, для прямого геликоида имеем

Сделав замену

приведем линейный элемент прямого геликоида к изотермическому виду

Сравнивая с (10) § 32, мы видим, что прямой геликоид наложим на катеноид.

Легко видеть, что этот геликоид состоит из главных нормалей винтовых линий Вследствие этого его касательные плоскости совпадают с соприкасающимися плоскостями этих линий, которые

поэтому будут асимптотическими Но они ортогональны прямолинейным асимптотическим линиям Отсюда следует, что средняя кривизна геликоида

и он принадлежит классу минимальных поверхностей.