ГЛАВА VII. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ

§ 36. Линейный элемент и касательная плоскость линейчатой поверхности

1. Линейчатой поверхностью называется место точек, принадлежащих прямым некоторого однопараметрического семейства. Эти прямые называются образующими поверхности, а линия, пересекающая в одной и только одной точке всякую образующую, называется направляющей (черт. 42).

Черт. 42.

Вводя уравнение направляющей

и предполагая, что единичный вектор образующей, проходящей через точку этой направляющей,

мы можем представить уравнение поверхности в следующем виде:

где v - абсцисса точки на прямолинейной образующей.

2. Обозначая точкой производную по и, получим

Отсюда следует, что линейный элемент поверхности

Направляющая кривая является ортогональной траекторией образующих, если

Но в таком случае линейный элемент поверхности принимает вид

и всякая линия будет ортогональной траекторией образующих. Отсюда следует, что геометрическое место точек линейчатой поверхности, равноудаленных от точек ортогональной траектории образующих, есть тоже их ортогональная траектория.

3. Нормальный вектор поверхности

а ее касательная плоскость имеет уравнение