§ 64. Кодацциевы сети

Если тензор сети, то система уравнений

которая сводится к двум уравнениям:

разрешается однозначно относительно координат вектора так как определитель правой части не равен нулю.

Из (9) § 63, (1) и (10) § 51 следует, что чебышевский вектор сети

где -норма тензора Следовательно,

Тензор удовлетворяет уравнению Кодацци, если

или подробнее

Сеть называется кодаццаевой, если ее тензор можно пронормировать так, чтобы после этого он удовлетворял уравнению (4). Но при перенормировании тензора сети

происходит преобразование его нормы

вследствие чего вектор преобразуется следующим образом:

Для того чтобы после перенормирования тензор удовлетворял уравнению Кодацци, необходимо и достаточно, чтобы множитель мог быть определен из уравнений

Для этого необходимо и достаточно, чтобы вектор был потенциальным, а вследствие (3) это равносильно потенциальности

Таким образом, для того чтобы сеть была кодаццаевой, необходимо и достаточно, чтобы ее чебышевский вектор определял потенциальное поле.

Будем называть кодацциевым такое нормирование тензора, при котором он удовлетворяет уравнениям (5). Так как при этом согласно (3) мы будем иметь в этом случае

Таким образом, чебышевский вектор кодацциевой сета равен одной четверти логарифмической производной нормы тензора этой сетиу находящегося в кодаццаевом нормировании.