§ 79. Теорема Гаусса — Бонне

1. Рассмотрим замкнутый контур ограничивающий на поверхности односвязную область X и обходимый в положительном направлении.

Допустим, что этот контур (черт. 52) состоит из конечного числа дуг каждая из которых является «гладкой второго порядка», т. е. вдоль каждой такой дуги направления касательной и геодезическая кривизна меняются непрерывно.

Черт. 52.

Допустим также, что точки являются угловыми точками, так что углы между касательными в конце предыдущей дуги и в начале следующей дуги отличны от нуля и имеют положительный или отрицательный знаки в зависимости от того, приходится ли их отсчитывать в положительном или отрицательном направлении на внешней стороне поверхности.

Предположим, что контур пересечен линиями регулярного поля единичного вектора а, и обозначим через единичный вектор касательной к через единичный вектор, переносимый параллельно по тому же контуру, и введем обозначение углов

При перемещении по каждой из гладких дуг каждый из трех введенных углов получит приращение, причем между этими приращениями будет иметь место соотношение

в силу (7) § 53

Просуммируем теперь эти приращения по всему замкнутому контуру, учитывая, что в угловых точках угол получит еще приращения

После этого мы будем иметь

Но первую сумму можно считать интегралом от геодезической кривизны по всему контуру Вторая сумма равна углу поворота вектора, обведенного параллельно по контуру т. е. интегральной кривизне области

Что же касается суммы то она может быть равна только целому числу окружностей так как касательный вектор принимает после обхода свое исходное положение. Покажем, что Для этого будем стягивать контур деформируя его непрерывно, к некоторой его внутренней точке. При этой непрерывной деформации целое число не может изменяться, а в пределе, когда контур стянется в точку, вектор очевидно, совершит один оборот, т. е. повернется на угол .

Приняв все сказанное во внимание, мы получим следующее соотношение:

которое и выражает содержание теоремы Гаусса — Бонне и дает связь между интегралом от геодезической кривизны кусочногладкого контура ограничивающего односвязную область , углами поворота касательной в угловых точках контура и интегральной кривизной области

2. В частности, для гладкого контура формула Гаусса — Бонне принимает вид

а для геодезического полигона, т. е. замкнутого контура, составленного из конечного числа дуг геодезических линий,

Величина в левой части, т. е. разность между суммой внешних углов многоугольника и углом называется его дефектом.

Из (3) следует, что дефект всякого геодезического многоугольника положителен на поверхностях отрицательной кривизны,

отрицателен на поверхностях положительной кривизны и равен нулю на поверхностях нулевой кривизны. Для плоскости последний результат дает известную теорему элементарной геометрии: сумма внешних углов многоугольника равна четырем прямым.