§ 17. Развертывающиеся поверхности, связанные с пространственной кривой

1. Переходя к рассмотрению развертывающихся поверхностей, связанных с пространственной кривой, исследуем огибающую семейства нормальных плоскостей. Огибающая семейства нормальных плоскостей называется полярной поверхностью данной кривой. Уравнение нормальной плоскости кривой

имеет вид

Дифференцируя это уравнение по параметру, от которого зависят только получим систему уравнений

определяющих характеристику полярной поверхности.

Радиус-вектор любой точки характеристики удовлетворяет соотношению

где радиус кривизны кривой.

Уравнение или равносильное ему уравнение (3) выражает плоскость, параллельную спрямляющей плоскости, ибо ее нормальный вектор направлен по главной нормали. Так как эта плоскость пересекает нормальную плоскость по характеристике семейства, то эти характеристики параллельны бинормали,

Теперь нетрудно установить положение характеристики в нормальной плоскости. Из соотношения (3) следует, что проекция на главную нормаль вектора соединяющего произвольную точку кривой с произвольной точкой характеристики, равна радиусу кривизны, откуда сейчас же следует, что эта характеристика проходит через центр кривизны (черт. 17).

Черт. 17.

Итак, характеристика полярной поверхности есть прямая, параллельная бинормали и проходящая через центр кривизны, соответствующий точке данной кривой.

Прямую эту называют еще осью кривизны данной линии.

2. Если в каждой точке кривой

задана определенная касательная плоскость с единичным нормальным вектором (черт. 18), то уравнение семейства этих плоскостей будет

Дифференцируя это уравнение по параметру от которого висят и принимая во внимание, что перпендикулярен к касательному вектору кривой, получим

Черт. 18.

Уравнения (4) и (5) определяют характеристику семейства и, очевидно, удовлетворяются при

Отсюда следует, что характеристика семейства плоскостей, касающихся данной кривой, проходит через точку прикосновения этой кривой к соответствующей плоскости семейства.

Этот же результат, очевидно, можно выразить следующим образом: кривая, касающаяся каждой плоскости семейства, лежит на огибающей этого семейства.

Зная точку, через которую проходит характеристика, для полного ее определения достаточно вычислить направляющий вектор этой характеристики. Для этого примем во внимание, что перпендикулярен к нормальным векторам плоскостей (4) и (5) и может быть определен условиями

Уравнение характеристики может быть получено и в явном виде

3. Предположим, что в каждой точке кривой

выбрана нормаль с направляющим единичным вектором

Найдем условие, которому должен удовлетворять этот вектор для того чтобы выбранные нормали были образующими развертывающейся поверхности.

Так как данная кривая лежит на этой поверхности, то по есть огибающая касательных плоскостей этой кривой и вектор должен удовлетворять условиям (6).

Дифференцируя первое из них, получим

Очевидно, что для выполнения второго из них необходимо и доста точно, чтобы

С другой стороны, так как вектор единичный, то

Векторы пат лежат в нормальной плоскости данной кривой, а вектор перпендикулярен к ним вследствие (8) и (9) и, следова тельно, направлен по касательной, так что

Обратно, из (10) следуют (8) и (9), и если вектор направлен по нормали, то для него выполняются условия (6).

Итак, для того чтобы семейство нормалей данной разовывало развертывающуюся поверхность, необходимо и точно, чтобы производная единичного вектора этих нор была коллинеарна касательной этой кривой.

Чтобы найти направление вектора представим его в виде

обозначая через угол, который он образует с главной нормалью данной линии.

Дифференцируя последнее равенство и пользуясь формулами Серре — Френе, получим после простых преобразований

Для того чтобы были коллинеарны, должно выполняться условие

которое и позволяет определить искомый угол в виде интеграла

Таким образом, мы видим, что из нормалей всякой кривой можно составить развертывающуюся поверхность и притом с известным произволом, соответствующим произволу в выборе постоянного интегрирования.

Этому произволу можно дать простое геометрическое истолкование. Предположим, что из нормалей данной кривой построены две различные развертывающиеся поверхности, причем их характеристики образуют углы и с главными нормалями данной криврй.

Оба эти угла должны удовлетворять условию (12). Поэтому, введя обозначение получим

Отсюда следует, что если нормали, образующие развертывающуюся поверхность, повернуть в нормальных плоскостях на постоянный угол, то они и после поворота будут образовывать развертывающуюся поверхность.

Формула (12) позволяет решить вопрос о виде кривых, у которых главные нормали или бинормали образуют развертывающуюся поверхность. В этих случаях или следовательно, так что это возможно только для плоской кривой.

4. Пространственной эволютой кривой называется такая кривая, касательные которой являются нормалями данной кривой.

Из этого определения прямо следует, что семейство нормалей, касающихся эволюты, должно образовывать развертывающуюся поверхность, ребром возврата которой будет рассматриваемая эволюта.

Установим теперь положение точки эволюты на нормалях этога семейства.

Для этого заметим, что, касаясь нормали, эволюта должна касаться и всех нормальных плоскостей данной кривой и в силу этого должна быть расположена на огибающей их семейства.

Итак, эволюта данной кривой расположена на ее полярной поверхности.

Приняв во внимание, что точка эволюты лежит на пересечении оси кривизны с нормалью, образующей развертывающуюся поверхность, мы можем представить ее радиус-вектор в следующем виде:

где есть радиус кривизны, а 0 удовлетворяет условию (12). Так как угол определяется с произволом в выборе постоянного слагаемого, то всякая линия имеет бесчисленное множество эволют.

Это справедливо, в частности, и для плоских кривых.

В этом случае и одну из эволют можно получить, полагая Но эта эволюта расположена в той же плоскости, что и данная кривая, и совпадает с местом ее центров кривизны. Другие эволюты той же кривой соответствуют значениям

Все они расположены на полярной поверхности, которая в случае плоской кривой будет цилиндрической. С другой стороны, угол О, образованный касательной эволюты плоской кривой с ее плоскостью, постоянен, значит, они пересекают и оси кривизны над постоянным углом и являются линиями откоса.