§ 57. Геодезически-биссекторное поле
1. Будем называть поле геодезически-биссекторным, если его вектор направлен по биссектрисе угла между векторами двух геодезических полей.
Если даны единичные векторы геодезических полей 
то с ними можно связать векторы Двух взаимно ортогональных биссекторных полей
Эти векторы — градиенты и выражаются через геодезические потенциалы так, что
Вследствие этого векторные линии полей 
и будут линиями уровня
Так как величины а и 
геодезическим расстояниям точки от начальных ортогональных траекторий
геодезических полей 
то линии (3) называют также геодезическими эллипсами и гиперболами, а линии (4) — их фокальными многообразиями. В частном случае, когда эти кривые вырождаются в точки, а поверхность — в плоскость, уравнения (3) выражают семейства конфокальных эллипсов и гипербол в обычном смысле этого слова.
2. Найдем единичные направляющие векторы полей 
и Обозначая через 
угол между векторами геодезических полей 
получим
и искомые единичные векторы
Вводя новые параметры
мы получим выражение линейного элемента поверхности, отнесенного к криволинейным координатам, линии которых совпадают с линиями взаимно ортогональных геодезически-биссекторных полей
или
частном случае, когда 
постоянно, этот линейный элемент может быть приведен к виду
Отсюда следует, что позерхность, допускающая существование двух геодезических полей, линии которых пересекаются под постоянным углом, наложима на плоскость.
