§ 80. Теорема Гаусса — Бонне для многосвязных областей и замкнутых поверхностей

1. Рассмотрим односвязную область точек плоскости и внутри этой области тоже односвязные области не имеющие между собой общих точек (черт. 53).

Будем говорить, что область получена вычитанием областей из области если она состоит из всех точек области которые не принадлежат областям

Будем записывать это в виде равенства

Черт. 53.

Область полученную указанным образом, называют многосвязной или -связной по числу областей

Область точек любой поверхности тоже называется -связной, если ее точки можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить в точки -связной области точек плоскости. Отметим существенную разницу между -связной областью на поверхности и на плоскости. Последняя всегда может быть дополнена до односвязной области добавлением к ней односвязных областей, состоящих из точек той же плоскости, тогда как строение поверхности может исключить эту возможность. Так, например, область на торе, ограниченная двумя его параллелями, двусвязна, но не может быть сделана односвязной с помощью присоединения к ней других точек того же тора. Однако многосвязная область на поверхности всегда может быть сделана односвязной путем добавления односвязных областей, если не требовать, чтобы все точки этих областей принадлежали поверхности.

Предположим теперь, что некоторая -связная область поверхности дополнена присоединением односвязных областей до односвязной области и что к каждой из этих областей может быть применена теорема Гаусса — Бонне. Будем считать одну из сторон поверхности в области внешней и ее же будем считать внешней и для областей установив в согласии с этим и положительные обходы контуров ограничивающих эти области.

Записав для каждой области формулы Гаусса — Бонне

вычтем из первого равенства все остальные. При этом вторые слагаемые левой части каждого равенства, очевидно, составят интегральную кривизну многосвязной области ?. Первые слагаемые образуют алгебраическую сумму

Эту сумму можно считать интегралом от геодезической кривизны составного контура ограничивающего многосвязную область , причем знак минус перед интегралами по может быть получен за счет изменения направления обхода, так что каждый из участков этого контура будет проходиться в том направлении, при котором наблюдатель, движущийся по внешней стороне поверхности, видит область 2 по левую руку (черт. 54).

Черт. 54.

Установив такое соглашение относительно интеграла по составному контуру ограничивающему многосвязную область , мы можем записать для этой области

2. Формы замкнутых поверхностей могут быть весьма разнообразны. Мы будем рассматривать только такие замкнутые

поверхности, которые не имеют линий самопересечения и могут быть получены путем склеивания двух многосвязных областей одинаковой связности в соответствующих точках составных контуров, ограничивающих эти области.

Если каждая из этих областей имеет связность то образованная с помощью их замкнутая поверхность называется поверхностью рода

Черт. 55.

Черт. 56.

В частности, если (черт. 55), то поверхность может быть отображена взаимно однозначно на поверхность сферы, а при поверхность тора (черт. 56).

Поверхности других родов изображены на прилагаемых черт. 57 и 58.

Черт. 57.

Черт. 58.

Интегральную кривизну всей замкнутой поверхности рода можно получить, применяя теорему Гаусса — Бонне к каждой из областей и ?", образующих эту поверхность. В соответствующих формулах

нужно учесть, что контуры совпадают между собой, но должны быть проходимы в противоположных направлениях, так как области лежат по разные стороны от этих контуров. Поэтому интегралы от геодезической кривизны отличаются знаком.

Складывая, получим, что интегральная кривизна всей замкнутой поверхности рода

В частности, для поверхности рода сферы , а для поверхности рода тора