§ 4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы Серре — Френе
1. Три вектора 
образуют ортонормальную тройку, если они единичны и взаимно перпендикулярны.
Условие ортонормальности имеет вид
Если векторы ортонормальной тройки являются дифференцируемыми функциями аргумента 
то их производные можно разложить по ним самим и рассмотреть систему уравнений
Дифференцируя левые и правые части (1) и пользуясь (2), мы получим
или
Таким образом, матрица коэффициентов разложения производных векторов ортонормальной тройки по этим же векторам
кососимметрична, т. е. имеет следующий вид:
2. Применяя этот общий результат к производным главных векторов кривой по ее натуральному параметру и пользуясь (8) § 3, мы получим так называемые формулы Серре — Френе
Коэффициенты 
называются кривизной и кручением кривой, а величина 
-радиусом кривизны. Пользуясь (6) § 3, легко показать, что кривизна кривой в любой ее точке равна пределу отношения угла поворота касательной на бесконечно малой дуге, содержащей эту точку, к длине этой дуги, а абсолютная величина кручения равна пределу отношения угла поворота бинормали на той же дуге к длине этой дуги.
3. Кривизна и кручение выражаются через производные радиуса-вектора по любому параметру следующим образом:
Точки кривых, в которых 
называются точками спрямления, и точки, в которых 
точками уплощения.
Соотношения
выражающие зависимости кривизны и кручения от натурального параметра, называются натуральными уравнениями кривой. Натуральные уравнения определяют кривую с точностью до ее положения в пространстве.
Из (1) — (5) § 2 следует, что прямая линия характеризуется условием
а плоские кривые — условием
