§ 48. Деривационные формулы Гаусса

Для дальнейшего нам понадобятся формулы разложения векторов вторых производных радиуса-вектора точки поверхности

по векторам местного триэдра

Равносильные им формулы были впервые рассмотрены Гауссом и носят с тех пор его имя.

Производя указанные разложения, мы будем иметь

Умножая скалярно левую и правую части на и принимая во внимание, что

получим

откуда следует, что коэффициенты совпадают с координатами тензора второй квадратичной формы.

Сложнее протекает вычисление коэффициентов называемых коэффициентами связности. Умножая левую и правую части (2) на и имея в виду, что

получим

С другой стороны,

или

Так как это равенство справедливо для любых значений индексов, то мы можем получить из него еще два, переставляя индексы в круговом порядке. Запишем эти равенства

и вычтем первое из суммы двух последних. По свойству вторых производных

т. е. величины симметричны по отношению к перестановке своих нижних индексов.

В силу этого мы будем иметь

а после свертывания левой и правой частей равенства с и замены

получим окончательно

Выражения справа, составленные из коэффициентов основной квадратичной формы поверхности, рассматривались впервые Кристоффелем, носят название символов или скобок Кристоффеля второго рода и обозначаются в классической литературе знаком

Так как они выражаются только через коэффициенты основного тензора и их производные, то они не меняются при изгибании поверхности.

С другой стороны, следует отметить, что они преобразуются при замене параметров по закону, который является более сложным, чем закон преобразования координат тензора.

В заключение полезно будет получить выражения символов Кристоффеля для того случая, когда линейный элемент имеет вид

Вот эти выражения, которые легко получить из (8):

В частном случае ортогональной системы координат

Полагая в этих формулах получим