§ 77. Сферическое отображение

1. Сферическим отображением поверхности называется сферическое отображение ее нормальной конгруэнции.

По этому определению точке поверхности (черт. 50), определенной радиусом-вектором

соответствует точка сферы единичного радиуса, определенная радиусом-вектором

где -единичный вектор нормали поверхности в ее точке

Черт. 50.

2. По свойству сферы радиус-вектор ее точки коллинеарен нормальному вектору в той же точке.

Вследствие этого касательные плоскости поверхности и сферы в соответствующих точках параллельны между собой или, как говорят, сферическое отображение есть соответствие по параллелизму касательных плоскостей

Вследствие этого параллелизма векторы местной системы координат в точке сферы

должны быть компланарны координатным векторам в точке поверхности, а так как последние независимы, то должны иметь место линейные соотношения вида

Умножая скалярно обе части этого равенства на и имея в виду выражения (1) § 18 и (8) § 23 коэффициентов основных квадратичных

форм поверхности, мы будем иметь уравнения

из которых и получим

Таким образом

3. Рассмотрим линейный элемент сферы

или третью квадратичную форму поверхности.

В силу ее инвариантности значения коэффициентов

являются координатами симметричного тензора второй валентности, или третьего основного тензора поверхности.

Из уравнений (4) следует, что

так что третий основной тензор поверхности равен квадрату ее второго основного тензора, и, применяя формулу (4) § 12, мы получим важное соотношение

где и К—средняя и полная кривизны поверхности.

Будучи квадратом тензора второй квадратичной формы, тензор имеет те же главные направления, которые совпадают, следовательно, с главными направлениями поверхности. Иначе говоря, сеть линий кривизны есть сеть Тиссо сферического отображения. Характерные числа равны квадратам характерных чисел т. е. квадратам полных кривизн.

Отсюда следует, что норма тензора равна квадрату полной кривизны

а его след

или

4. Отношение компонент дискриминантных тензоров сферического отображения и поверхности и

так что

Таким образом, тройки векторов местных систем координат поверхности и сферы будут иметь одинаковую ориентацию в эллиптических точках поверхности и обратную — в ее гиперболических точках.

Рассмотрим на поверхности некоторую односвязную область и ограничивающий ее контур Будем говорить, что обход этого контура совершается в положительном направлении, если наблюдатель, движущийся в этом направлении по внешней стороне поверхйости, видит обходимую область по левую руку от себя. Обход области в направлении, обратном положительному, будем называть обходом отрицательного направления.

Предположим теперь, что в области кривизна не меняет своего знака, и введем такую систему криволинейных координат, чтобы линия совпадала с участком контура а тройка векторов была правой. В таком случае, если параметр возрастает в направлении положительного обхода, вектор касается контура и направлен в ту же сторону, а вектор касается линии, входящей внутрь области

Перейдем к сферическому отображению, и пусть область и ее граница соответствуют области с ее границей . В силу непрерывности и дифференцируемости уравнений, определяющих отображение, вектор касается контура определяя направление его обхода, соответствующего положительному обходу контура а вектор направлен внутрь области Отсюда следует, что обход контура будет положительным, если тройка правая, и отрицательным, если она левая.

Таким образом, при положительном обходе контура на данной поверхности обход соответствующего контура на сфере совершается в положительном направлении, если область состоит из эллиптических точек, и в отрицательном, если она состоит из гиперболических точек. На прилагаемом черт. 51 наглядно показывается связь между обходами на сферическом отображении и на поверхности положительной и отрицательной кривизн.

Из (12) следует интегральное равенство

справедливое для области знакопостоянной кривизны. Припишем знак мере площади сферической области в зависимости от того, какой знак имеет обход этой области на сфере, соответствующей положительному обходу области , и назовем интегральной кривизной интеграл от полной кривизны по поверхности.

Черт. 51.

При этих условиях формула (13) выражает тот факт, что интегральная кривизна некоторой области точек на поверхности равна мере площади соответствующей сферической области.

Этот результат распространяется и на произвольную область, если ее разбить предварительно на области знакопостоянной кривизны и считать мерой ориентированной поверхности на сфере алгебраическую сумму мер этих областей.

В заключение рассмотрим некоторую точку поверхности, односвязную область содержащую эту точку, соответствующую ей сферическую область и пусть меры этих областей. В таком случае теорема о среднем, примененная к правой части равенства (13), дает соотношение

где есть значение кривизны в некоторой точке области Предположим теперь, что вся эта область стягивается к точке к той же точке стремится и точка А и в силу непрерывности

т. е. полная кривизна поверхности в некоторой ее точке равна пределу отношения площади сферического отображения области,

стягивающейся к данной точке, к площади самой этой области.

5. Из условия сопряженности двух направлений

следует: для того чтобы направления двух векторов были сопряжены, необходимо и достаточно, чтобы вектор, соответствующий одному из них в сферическом отображении, ортогонален другому.

Так как асимптотическое направление является самосопряженным, то асимптотическое направление ортогонально своему сферическому отображению.

Так какглавное направление ортогонально своему сопряженному, то главное направление параллельно своему сферическому отображению, что следует также из формулы Родрига (1) § 29.

6. Деривационные уравнения для радиуса-вектора точки сферы единичного радиуса имеют вид

так как тензор ее второй квадратичной формы равен — а

— скобки Кристоффеля этого же тензора.

Пользуясь уравнениями (6) и деривационными уравнениями поверхности

и дифференцируя координаты тензора второй квадратичной формы

мы получим следующее соотношение:

Его альтернация по индексам и по индексам приводит к уравнениям

и

Таким образом, тензор второй квадратичной формы поверхности удовлетворяет уравнению Кодацци как по отношению

к метрике поверхности, так и по отношению к метрике ее сферического отображения.

Из того, что норма тензора равна полной кривизне поверхности К, а также из формулы (6) § 64 следует непосредственно, что чебышевский вектор асимптотической сети

Легко найти также чебышевский тензор сферического отображения асимптотической сети по отношению к метрике сферы, Действительно норма тензора по отношению к этой метрике

отсюда следует, что

7. Формуле (17) может быть дано интересное геометрическое истолкование. Рассмотрим значение билинейной функции

и будем дифференцировать ее вдоль некоторой кривой предполагая, что вектор переносится вдоль этой кривой параллельно на данной поверхности, а вектор, соответствующий вектору на сфере, переносится параллельно по поверхности сферы. В таком случае мы будем иметь

и в силу (17)

Таким образом, значение функции сохраняется, если вектор переносится параллельно по поверхности, а вектор, соответствующий вектору при сферическом отображении, — по поверхности сферы, на которую отображена данная поверхность.

В частности, если векторы были сопряжены на данной поверхности в начальной точке кривой то они останутся сопряженными вдоль всей кривой, так как условие сопряженности будет выполняться во все время перенесения.

Для того чтобы дать пример приложения последнего результата, рассмотрим так называемую сеть Фосса, которая является одновременно и сопряженной и геодезической. Если вектор касается линии этой сети, то он переносится параллельно вдоль этой линии, а вектор направление которого касается линии второго семейства в некоторой начальной точке, остается касательным к линиям этого семейства во всех точках линии если вектор, соответствующий ему при сферическом отображении, переносится параллельно по сфере. Те же рассуждения могут быть проведены и для вектора Отсюда следует, что сферическое отображение сети Фосса есть чебышевская сеть на сфере.

Сеть Фосса существует не на всякой поверхности. Поверхности, допускающие существование такой сети, называются поверхностями Фосса.