§ 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые
Касательная плоскость будет одной и той же во всех точках образующей, если векторы 
коллинеарны между собой, а если это имеет место для всех образующих, то поверхность огибает однопараметрическое семейство плоскостей, т. е. будет развертывающейся.
Применяя известное векторное тождество
и приравнивая нулю векторное произведение, получим условие коллинеарности указанных векторов или условие того, что линейчатая поверхность развертывающаяся
Пользуясь этим условием коллинеарности, мы можем положить
где 
единичный вектор, перпендикулярный к 
функции параметра и. После этого линейный элемент развертывающейся поверхности принимает вид
а если направляющая ортогональна образующим, то
В случае цилиндрической поверхности 
полагая
получим ее линейный элемент
Считая, что 
-вектор вершины конической поверхности, и полагая
получим
Если поверхность есть место касательных прямых кривой (1) § 36, а и есть длина ее дуги, то 
есть ее единичный касательный вектор, 
ее кривизна и линейный элемент поверхности имеет вид
Покажем, что все развертывающиеся поверхности наложимы на плоскость, что и объясняет их название.
Для цилиндра и конуса это очевидно, так как их линейные элементы (4) и (5) совпадают с линейными элементами плоскости в прямоугольных декартовых и полярных координатах.
Остается рассмотреть развертывающуюся поверхность с ребром возврата, которая имеет линейный элемент вида (6).
Мы видим, что его коэффициенты зависят только от кривизны ребра возврата, т. е. от вида функции
где 
кривизна, а 
длина дуги этой линии. Отсюда следует, что если деформировать ребро возврата так, чтобы при этом его кручение изменялось, а зависимость кривизны от длины дуги оставалась неизменной, то линейный элемент поверхности, составленной из касательных к этой линии, будет оставаться неизменным и, значит, поверхность будет изгибаться.
Но так как соотношения между кривизной, кручением и длиной дуги могут быть выбраны независимо, то, не меняя первое, мы можем выбрать кручение так, чтобы оно было тождественно равно нулю. При таком выборе ребро возврата станет плоской кривой, а все его касательные расположатся на плоскости. Следовательно, изгибая нашу поверхность, мы можем добиться того, что все ее точки расположатся на плоскости. Таким образом, развертывающаяся поверхность с ребром возврата тоже наложима на плоскость,
