§ 15. Огибающая семейства поверхностей

1. Если поверхность задана уравнением

а кривая на этой поверхности — параметрическими уравнениями

то уравнение

выполняется тождественно.

Дифференцируя это тождество, получим соотношение

которое может рассматриваться как равенство нулю скалярного произведения двух векторов

и

Первый из них есть касательный вектор кривой, принадлежащей поверхности, а второй не зависит от направления этой кривой. Так как соотношение (2) справедливо для всякой кривой, проходящей на

поверхности через данную ее точку, то вектор (3) есть нормальный вектор поверхности, соответствующий этой точке.

2. Семейство поверхностей, зависящее от одного параметра, задается уравнением

При фиксированном значении с это уравнение определяет одну из поверхностей семейства, а изменение с соответствует переходу к другим поверхностям.

Черт. 13.

Если существует поверхность, касающаяся в каждой своей точке некоторой поверхности данного семейства, то она называется огибающей данного семейства (черт. 13).

По этому определению каждая точка огибающей принадлежит некоторой поверхности семейства, а эта поверхность характеризуется определенным значением параметра с. Имея это в виду, мы можем сказать, что каждой точке огибающей соответствует определенное значение с, так что с есть функция координат точки огибающей

Подставляя в уравнение семейства координаты точки огибающей и соответствующее ей значение параметра, получим равенство, удовлетворяющееся во всех точках огибающей

Чтобы принять во внимание условие прикосновения огибающей и поверхностей семейства, рассмотрим некоторую кривую

расположенную на огибающей.

Так как координаты точек этой кривой должны удовлетворять уравнению (6), то для них тоже будет иметь место тождественное равенство

Дифференцирование последнего соотношения приводит к новому тождеству

Но касательный вектор огибающей должен быть одновременно и касательным вектором соответствующей поверхности семейства,

условием чего является равенство

Выражающее перпендикулярность вектора и нормального вектора поверхности семейства. Сравнение (7) и (8) приводит к соотношению

имеющему силу для Всякой кривой на огибающей

Так как эти кривые заведомо можно выбрать так чтобы они соединяли точки различных поверхностей семейства, то последнее условие должно выполняться и при переменном а это значит, что

Итак, координаты точек огибающей должны удовлетворять двум уравнениям:

или уравнению

которое можно получить, исключая с из (9).

3. Значение параметра с, вообще говоря, изменяется при перемещении точки по огибающей. Однако можно искать на огибающей такие особые геометрические места, в точках которых параметр семейства сохраняет постоянное значение.

При таком условии уравнения (9)

выражают две поверхности, а место общих точек этих поверхностей есть, вообще говоря, некоторая кривая, принадлежащая огибающей, причем всем точкам этой кривой соответствует одно и то же значение параметра с. Эта кривая называется характеристикой семейства. Так как все точки характеристики принадлежат в силу уравнения также некоторой поверхности семейства, то характеристика есть линия, вдоль которой огибающая касается некоторой фиксированной поверхности семейства (черт. 13).

К понятию характеристики можно придти и из других соображений, которые во многих частных случаях облегчают исследование геометрической природы характеристик.

Предположим, что две поверхности семейства, соответствующие двум достаточно близким значениям параметра с и пересекаются по некоторой линии. Координаты точек этой линии удовлетворяют уравнениям

Пользуясь теоремой Лагранжа, мы можем получить третье уравнение

где есть значение параметра, заключенное между двумя данными.

Этому уравнению тоже удовлетворяют координаты точек рассматриваемой кривой.

Предположим теперь, что е. что значения параметра, соответствующие обеим поверхностям семейства, неограниченно сближаются. В таком случае уравнение (13) перейдет в уравнение

и вместе с уравнением (4) определит предельное положение рассматриваемой линии. Сравнивая уравнения (11), (14) с уравнениями (9), приходим к следующему заключению: предельное положение линии пересечения двух поверхностей семейства, соответствующих двум бесконечно близким значениям параметра, совпадает с его характеристикой.

4. Характеристики образуют на огибающей поверхности семейство линий, зависящее от одного параметра. Если это семейство имеет огибающую, то она называется ребром возврата данного семейства поверхностей.

Предположим, что рассматриваемое семейство поверхностей имеет ребро возврата, выражающееся уравнением

Подставляя выражение координат точки этой кривой в уравнения (9), мы обратим их в тождества, так как по определению ребро возврата принадлежит огибающей.

Дифференцируя условие, полученное из найдем

Но касательный вектор ребра возврата должен совпадать в каждой его точке с касательным вектором соответствующей характеристики и должен поэтому быть перпендикулярен к нормальному вектору всякой поверхности, проходящей через эту характеристику. Но одна из таких поверхностей выражается уравнением и ее нормальный вектор имеет координаты

Приняв во внимание условие перпендикулярности

и заметив, что значение параметра с меняется при движении по ребру возврата, получим из соотношения (15)

Таким образом, координаты точки ребра возврата должны удовлетворять трем уравнениям:

Разрешая эти уравнения относительно мы можем определить их в функции параметра с и получить, таким образом, параметрические уравнения ребра возврата

если оно существует.

В этом случае, соответственно значению с, на каждой поверхности семейства найдется точка, принадлежащая ребру возврата. Эта точка называется характеристической точкой данного семейства поверхностей.