§ 51. Ковариантная производная

1. Если задано тензорное поле, т. е. значение тензора отнесено каждой точке некоторой двумерной области, то дифференциал координаты этого тензора может быть выражен черёз частные производные от этих координат

а координаты его абсолютного дифференциала представлены в следующем виде:

Свернем правую и левую части этого равенства с произвольными векторами Так как есть тензор, то левая, а следовательно, и правая части будут выражать полилинейные функции четырех векторов Отсюда следует, что величины в скобках, для которых мы введем обозначение

представляют координаты тензора, валентность которого на единицу больше валентности данного тензора.

Тензор (1) называется ковариантной производной данного тензора.

Таким образом, абсолютный дифференциал тензора, образующего полеу равен результату свертывания некоторого тензора с вектором Этот тензор называется ковариантной производной данного.

Правила ковариантного дифференцирования непосредственно вытекают из правил абсолютного дифференцирования. Так мы будем иметь

Будет также иметь место правило, согласно которому действия свертывания и ковариантного дифференцирования перестановочны между собой.

Ковариантная производная скаляра считается равной его градиенту, и тогда последнее правило сохраняет свою силу и для выражений, полученных в результате полного свертывания. Так, из (14) § 50 следует

2. Так как абсолютные дифференциалы метрического и дискриминантного тензоров равны нулю независимо от направления дифференцирования, то это же будет иметь место и относительно их ковариантных производных.

Таким образом,

Соотношение (6) совпадает с (6) § 48, а (7) в силу косой симметрии дискриминантного тензора сводится К одному уравнению

или

Пользуясь выражением (8) § 48 для символов Кристоффеля, мы получим также

Формула (9) остается справедливой для всякого симметричного тензора второй валентности, дискриминант которого отличен от нуля, что можно проверить непосредственно. С другой стороны, для этого же тензора

откуда вытекает соотношение, которое мы используем позже:

где норма тензора

3. Ковариантное дифференцирование дает средство для построения инвариантов векторных и тензорных полей.

Так, например, выражения

являются инвариантами векторного поля так как они получены свертыванием его ковариантной производной с тензорами или Но

откуда

С другой стороны, в силу (17) § 10

откуда

или

4. Выразим радиус-вектор точки поверхности через его прямоугольные координаты, положив

Если поверхность параметризована, то каждую из величин можно рассматривать как значение некоторого скалярного поля, принадлежащего поверхности.

В таком случае координаты вектора

будут градиентами функций Но в силу деривационных уравнений Гаусса

полагая, кроме того,

мы получим

Пользуясь символом ковариантной производной, мы можем записать эти соотношения в следующем виде:

Возвращаясь к векторным обозначениям, мы будем пользоваться в дальнейшем следующей сокращенной записью уравнений (13), равносильных деривационным формулам Гаусса:

Так как вторая квадратичная форма плоскости равна нулю, то радиус-вектор ее точки удовлетворяет уравнению