§ 54. Геодезические линии

1. С точки зрения отмеченной выше аналогии между геодезической кривизной линий на поверхности и кривизной линий на плоскости мы, естественно, приходим к представлению о линиях, которые играют во внутренней геометрии поверхности ту же роль, что и прямые линии на плоскости. Такие линии на поверхности называются геодезическими и характеризуются тем, что их геодезическая кривизна равна нулю во всех их точках. Согласно этому определению геодезические линии остаются геодезическими при изгибании поверхности и переходят в прямые линии при развертывании кривой на плоскость.

Очевидно также, что прямая линия, принадлежащая поверхности, будет геодезической.

Что касается кривых линий, то для обращения в нуль их геодезической кривизны необходимо и достаточно, чтобы их вектор кривизны был направлен по нормали к поверхности, а это значит, что их главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Считая, что главная нормаль прямой неопределенна, мы можем сформулировать такое общее положение: для того чтобы линия была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы ее главные нормали совпадали с нормалями поверхности, на которой эта линия расположена.

Из этого результата сейчас же вытекает, что геодезическая линия является вместе с тем и асимптотической тогда и только тогда, когда она прямая.

Если геодезическая линия является плоской, то все главные нормали этой геодезической лежат в ее плоскости и вместе с тем совпадают с нормалями поверхности. Отсюда сразу же следует, что плоская геодезическая является вместе с тем и линией кривизны.

Если на поверхности существует однопараметрическое семейство плоских геодезических, то их ортогональные траектории будут ортогональны нормали поверхности и будут ортогональными траекториями тех плоскостей, в которых расположены эти геодезические. Отсюда следует, что поверхности, содержащие семейство плоских геодезических, суть резные поверхности, а указанные геодезические совпадают с их меридианами. В частности, и меридианы поверхности вращения будут геодезическими.

2. Из (3) § 53 следует, что для геодезической линии

так что единичный касательный вектор геодезической линии переносится вдоль нее параллельно.

В развернутом виде условие (1) сводится к системе уравнений

При условии дифференцируемости коэффициентов эта система имеет решение, которое определяется заданием начальных значений функций и начальных значений их производных

Отсюда следует, что через каждую точку поверхности и в любом направлении, исходящем из этой точки, можно провести одну и только одну геодезическую линию.

Принимая во внимание порядок уравнений (2), можно также утверждать, что семейство всех геодезических линий поверхности зависит от двух параметров.

Уравнения (2) можно преобразовать, исключив из них переменное 5. Обозначив для удобства заметим, что

и

Подставляя значение из мы получим

Из этого уравнения вытекает, в частности, что линия будет геодезической при условии

Аналогичным образом можно показать, что линия будет геодезической при условии

Вследствие (6) § 53 угол под которым геодезическая линия пересекает линии векторного поля удовлетворяет уравнению

или согласно (11) § 53 для угла с линией

которое в случае ортогональных координат принимает вид