§ 11. Симметричный тензор второй валентности

1. Симметричный тензор второй валентности играет особенно важную роль в вопросах приложений тензорного анализа. Чтобы изучить эти свойства, рассмотрим значение функции

соответствующее совпавшим значениям ее аргументов

Черт. 5.

Приведенным значением вектора мы будем называть коллинеарный ему вектор

Направление отрезка изображающего вектор совпадает с направлением вектора (черт. 5), а его длина не зависит от длины этого вектора. Таким образом, по каждому направлению, исходящему из точки О, будет отложен единственный отрезок, а геометрическое место концов этих отрезков будет плоской кривой, которую мы будем называть индикатрисой данного тензора.

Уравнение индикатрисы имеет вид

причем знак плюс в правой части соответствует тем направлениям вектора для которых значение функции положительно, а минус тем, для которых оно отрицательно.

Вид этого уравнения показывает, что индикатриса тензора является центральной кривой второго порядка или парой таких кривых с центром в точке О.

Известные формулы аналитической геометрии показывают, что направления, удовлетворяющие условию

сопряжены относительно индикатрисы, а направление, удовлетворяющее условию

является ее асимптотическим направлением. Мы будем говорить, что направления векторов сопряжены относительно тензора а направление есть нулевое направление этого тензора. Пользуясь фактом, известным из аналитической геометрии, отметим, что направления, сопряженые относительно тензора, разделяются гармонически его нулевым направлениями.

2. Главными направлениями тензора называют такие направления, которые сопряжены и взаимно ортогональны между собой, а орты этих направлений называют главными ортами тензора (см. черт. 5). Разложим два произвольных вектора по главным ортам тензора и пусть

Подставляя в (I) и пользуясь (5), получим

Результаты подстановки главных ортов в выражение функции (1), т. е. величины

называются главными значениями тензора или его характерными числами.

Представив (7) в виде

и заметив, что

получим

а вследствие произвольности векторов

Таким образом, симметричный тензор второй валентности определяется заданием главных ортов и главных значений и выражается через них по формуле (10).

Представление (10) называется каноническим представлением. тензора.

В частном случае метрического тензора, условие сопряженности (5) совпадает с условием ортогональности, вследствие чего всякие два взаимно ортогональных направления являются главными направлениями метрического тензора. Кроме того, из (8) следует, что в этом случае

так что главные значения метрического тензора равны единице, и он представляется канонически через любые два взаимно ортогональных орта по формуле

С этим каноническим представлением метрического тензора полезно сопоставить более общее его представление через два произвольных единичных вектора образующих между собой угол Из тождества

следует, что

Отсюда, применяя (15) § 8 и (17) § 10, в свою очередь получаем, что дискриминантный тензор

может быть представлен в следующем виде:

или, в частности,

3. Если масштабные векторы совпадают с главными ортами тензора, то последние имеют координаты и из (10) следует, что

а уравнение индикатрисы (4) имеет канонический вид

где — характерные числа тензора.

Как известно из аналитической геометрии, эти коэффициенты являются корнями характеристического уравнения

С коэффициентами

являющимися инвариантами преобразования координат. Мы будем называть их инвариантами тензора, первый из них — следом, а второй — нормой тензора.

Свертывая с правую часть (10), получим

а принимая во внимание, что

получим опятьтаки из (10)

или в силу (14) и (17)

откуда

4. Свойства тензора существенно зависят от типа индикатрисы. Если она является эллипсом, т. е. если

то тензор имеет нулевых направлений. Если индикатриса является гиперболой (вернее, парой сопряженных гипербол, каждая из которых соответствует определенному знаку левой части ее уравнения), если то тензор имеет два различных нулевых направления.

Предположим, что вектор нулевого направления

где и -главные орты. В таком случае

и если то нулевые направления определяются векторами

а тензор может быть представлен в следующем виде:

Если индикатриса является линией параболического типа, т. е.

то она распадается на пару параллельных прямых, и если , то тензор представляется в следующем виде:

5. Два симметричных тензора с координатами и называются взаимными, если они удовлетворяют уравнениям

Координаты взаимного тензора определяются через координаты данного однозначно из этих уравнений, если норма данного тензора отлична от нуля.

Если данный тензор представлен каноническим разложением (10), то взаимный ему

так как в таком случае (25) удовлетворяются.

Отсюда легко вытекает следующее тождество:

где есть норма тензора