§ 56. Геодезически-изотермическое поле

1. Изотермическое поле характеризуется тем, что его трансверсальный вектор соленоидален.

Для геодезического поля из (5) § 55 следует, что в этом случае вектор

— градиент, но так как вектор тоже градиент, то

где а — геодезический потенциал, так что геодезическая кривизна постоянна вдоль линии

Таким образом, для того чтобы геодезическое поле было изотермическим, необходимо и достаточно, чтобы его ортогональные траектории имели постоянную геодезическую кривизну.

2. Единичный вектор изотермического поля коллинеарен вектору лапласова поля так что

и если единичный вектор геодезического поля, то в силу его градиентности В есть функция одного а.

С другой стороны,

где — градиент функции сопряженной функции

Но в таком случае метрический тензор поверхности

и ее линейный элемент

Однако согласно (5) § 30 это есть линейный элемент поверхности вращения.

Таким образом, поверхность, допускающая существование геодезически-изотермического поля, наложима на поверхность вращения, причем линии поля соответствуют меридианам.

3. Из (4) § 47 и (4) § 55 следует, что всякая функция геодезически-изотермического потенциала удовлетворяет уравнениям