§ 28. Асимптотические линии
1. Асимптотической называется такая линия, которая в каждой своей точке касается асимптотического направления поверхности, соответствующего этой точке.
Так как нормальная кривизна, соответствующая этому направлению, равна нулю, то асимптотическая линия может быть определена так же, как линия нулевой нормальной кривизны.
Отсюда в свою очередь следует, что асимптотическая линия либо является прямой, либо характеризуется тем, что ее главная нормаль лежит в касательной плоскости поверхности, бинормаль совпадает с нормалью, а соприкасающаяся плоскость — с касательной плоскостью к поверхности, причем все эти условия равносильны.
2. Так как асимптотические направления совпадают с нулевыми направлениями тензора второй квадратичной формы, то асимптотические линий ямяются интегральными кривыми уравнения
Они образуют действительную сеть в области гиперболических точек, мнимую сеть в области эллиптических точек и одно семейство в области параболических точек.
Если асимптотическая сеть принята за координатную, то согласно п° 3 § 21
и вторая квадратичная форма имеет вид
Рассмотрим асимптотическую линию, состоящую из параболических точек или точек уплощения. Так как в параболической точке одно из главных направлений должно совпадать с асимптотическим, а в точке уплощения оно неопределенно, то рассматриваемая асимптотическая линия есть вместе с тем и линия кривизны. Отсюда следует, что бинормали данной кривой, совпадающие с нормалями поверхности, образуют развертывающуюся поверхность. Но выше (конец п° 3 § 17) мы видели, что это возможно только у плоских кривых.
Таким образом, асимптотическая линия, состоящая из параболических точек или точек уплощения, есть плоская кривая, причем содержащая ее плоскость касается поверхности во всех точках этой линии.
Рассмотрим теперь поверхность нулевой кривизны
Эта поверхность состоит из параболических точек или из точек уплощения.
Если поверхность состоит из параболических точек, то ее асимптотические по предыдущему образуют семейство плоских линий, зависящих от одного параметра, причем касательная плоскость поверхности остается неизменной вдоль каждой из линий этого семейства. Но вследствие этого поверхность огибает семейство плоскостей, зависящих от одного параметра. Таким образом, поверхность, составленная из параболических точек, — развертывающаяся.
Если поверхность состоит из точек уплощения, то всякая линия на ней является асимптотической. Взяв семейство линий, зависящих от одного параметра, докажем, как и в предыдущем случае, что вдоль каждой из линий этого семейства касательная плоскость поверхности остается неизменной. Возьмем теперь новую линию так, чтобы она пересекала все линии первого семейства. Так как для этой линии справедлив тот же результат, то, значит, все плоскости семейства совпадают между собой. Таким образом, все точки поверхности лежат в одной плоскости, так что поверхность, состоящая из точек уплощения, есть плоскость.
