ГЛАВА III. ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ

§ 13. Поверхность и ее параметризация

1. Переходя к изучению поверхности, мы начнем с ее топологического определения и прежде всего определим понятие простого куска поверхности, которое играет ту же роль, что и понятие простой дуги для кривой.

Простым куском поверхности называется такое множество точек, которое может быть отображено топологически (т. е. взаимно однозначно и непрерывно) на множество точек круга, включая и точки окружности. Те точки куска, которые отображаются в точки окружности, называются его граничными точками. Очевидно, что граничные точки составляют замкнутую кривую — границу данного куска.

Мы будем говорить, что два простых куска склеены, если между точками некоторых дуг их границ установлено взаимно однозначное соответствие и куски подвергнуты такой непрерывной деформации, после которой соответствующие точки их границ совместились. В результате склеивания двух простых кусков может получиться снова простой кусок, а может получиться и такое множество точек, которое не является простым куском.

Черт. 6.

Рассмотрим, например, два равных прямоугольника и (черт. 6) и склеим их так, чтобы сторона совместилась со стороной а сторона со стороной . В результате такого склеивания мы получим «трубку» (черт. 7). Непрерывной деформацией ее можно превратить в «плоское кольцо» (черт. 8) или в двухсвязную область плоскости, которую нельзя отобразить топологически на круг, являющийся односвязной областью плоскости.

Еще более своеобразную фигуру мы получим, если совместим попрежнему отрезок с отрезком а после этого будем считать соответственными такие точки отрезков и которые симметричны между собой относительно центра тяжести прямоугольника Произведя совмещение соответствующих точек, т. е. налагая

отрезок на отрезок мы получим так называемый лист Мебиуса (черт. 9), обладающий замечательным свойством «односторонности» . Лист Мебиуса тоже, очевидно, не может быть отображен топологически на круг, т. е. не является простым куском поверхности.

Черт. 7.

Черт. 8.

Черт. 9.

Однако, с обычной точки зрения, и «трубка» и «лист Мебиуса» являются поверхностями. В согласии с этой точкой зрения мы и будем называть поверхностью не только простые куски, но и такие множества точек, которые могут быть склеены из конечного или счетного множества простых кусков.

Так, например, полная поверхность шара может быть склеена из двух его полушарий, каждое из которых является простым куском, а вся бесконечная плоскость может быть составлена из счетного числа простых кусков прямоугольной формы. Если возвращаются от рассмотрения полной поверхности к отдельному рассмотрению тех кусков, из которых она склеена, то говорят, что поверхность разрезана на эти куски.

Черт. 10. (см. скан)

2. Рассмотрим поверхность или такую часть поверхности, которая может быть отображена топологически на некоторую плоскую область, и пусть точке этой поверхности соответствует точка плоскости (черт. 10), прямоугольные координаты которой равны Если такое отображение задано, то говорят, что поверхность параметризована,

а величины называются криволинейными координатами точки данной поверхности. В силу непрерывности соответствия всякой линии на плоскости соответствует некоторая линия на поверхности. В частности, прямым соответствуют такие линии поверхности, которые называются координатными линиями данной параметризации. В силу однозначности соответствия через каждую точку параметризованной поверхности проходит одна и только одна линия семейства и одна и только одна линия семейства Оба эти семейства, вместе взятые, образуют правильную сеть, которая называется координатной.

Задание значений криволинейных координат точки параметризованной поверхности определяет положение этой точки, следовательно, и значение ее радиуса-вектора

Таким образом, радиус-вектор точки параметризованной поверхности является функцией криволинейных координат этой точки. Соотношение

определяющее эту функциональную зависимость, называется параметрическим уравнением поверхности.

Векторное уравнение (1) равносильно трем координатным уравнениям:

Так как соответствие между парами значений параметров и точками поверхности должно быть взаимно однозначным, то уравнения (2) должны быть разрешимы относительно переменных а координаты точки поверхности вследствие этого должны быть связаны соотношением вида

которое называется неявным уравнением поверхности.

Если поверхность может быть однозначно отображена на плоскость так, что соответствующие точки и лежат на прямых, параллельных оси то ее уравнение может быть представлено в виде

Абсцисса и ордината точки поверхности играют в этом случае роль криволинейных координат, а координатные линии являются линиями пересечения поверхности плоскостями, которые параллельны координатным плоскостям

3. Метод дифференциальной геометрии позволяет изучать только такие поверхности, которые могут быть параметризованы так, что

их уравнение (1) определяет радиус-вектор как дифференцируемую функцию своих аргументов . В дальнейшем мы всегда будем предполагать такую дифференцируемость. При этом для разрешимости различных конкретных задач требуется дифференцируемость различных порядков. Мы будем также предполагать этот порядок достаточно большим для того, чтобы полученные формулы имели смысл.

В предположении дифференцируемости условие разрешимости уравнений (1) относительно сводится к тому, что хотя бы один из определителей второго порядка, погруженных в матрицу

был отличен от нуля, или, иначе говоря, ранг этой матрицы был равен двум. Точки поверхности, в которых это условие нарушено, мы будем называть особыми точками параметризации и исключать эти точки из рассмотрения.

Черт. 11.

4. В качестве примера рассмотрим поверхность сферы, параметризованной с помощью ее географических координат, т. е. широты и долготы (черт. 11). Зафиксировав полярную ось, т. е. один из диаметров сферы, будем называть долготой угол между плоскостью меридиана данной точки и плоскостью начального меридиана, а широтой — угол 6 между радиусом, соединяющим центр сферы с данной точкой, и плоскостью экватора, приписав ей знак плюс, если точка лежит в северном полушарии, и знак минус, если она лежит в южном.

Помещая начало координат в центр сферы, совмещая полярную ось с осью а плоскость начального меридиана — с плоскостью мы получим параметрическое уравнение сферы в следующем виде:

где а — радиус сферы. В координатах тоже уравнение сводится к трем следующим:

Матрица (5) для этих уравнений

имеет ранг два во всех точках, за исключением точек, широта которых т. е. полюсов, которые являются особыми точками параметризации. В этих точках нарушается правильность координатной сети, так как через них проходит бесчисленное множество линий т. е. меридианов.

Исключая криволинейные координаты из уравнений (7), мы получим неявное уравнение сферы

а разрешив его относительно -два уравнения:

выражающих поверхности северного и южного полушарий.