ГЛАВА XV. ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 95. Криволинейные координаты в пространстве

1. Если радиус-вектор точки задан как дифференцируемая функция трех переменных

и эта зависимость устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками некоторой области пространства и значениями этих переменных, то они называются криволинейными координатами точки.

Условием взаимной однозначности соответствия, т. е. разрешимости системы

относительно служит неравенство

или в векторной форме

где

Геометрическое место точек, для которых одна из криволинейных координат сохраняет постоянное значение, есть координатная поверхность. Действительно, такое геометрическое место выражается, например, уравнением

или

при условии

которое следует из (2).

Координатные поверхности лересекаются по координатным линиям, которые характеризуется тем, что вдоль них значения двух криволинейных координат остаются неизменными (черт. 65).

Так, линия пересечения поверхностей выражается параметрически уравнением

Вектор

очевидно, будет касательным вектором этой линии и вообще: векторы или координатные векторы касаются соответствующих координатных линий.

Черт. 65.

Условие (2) показывает, что координатные векторы, исходящие из всякой точки рассматриваемой области пространства, независимы между собой.

2. Указанная независимость позволяет принять координатные векторы за масштабные векторы местной декартовой системы координат и разлагать по ним всякий вектор, заданный в соответствую-. щей точке пространства. Коэффициенты такого разложения

контравариантные координаты вектора а.

Скалярное произведение векторов а и 6, заданных в данной точке, выражается через контравариантные координаты этих векторов в виде суммы

а коэффициенты этой суммы ковариантные координаты метрического тензора пространства. Линейный элемент пространства выражается квадратичной формой

Величины

попрежнему будем называть ковариантными координатами вектора а.

Разрешая (6) относительно контравариантных координат, мы получим

где приведенные миноры матрицы с элементами или контравариантные координаты метрического тензора. Мы будем пользоваться величинами для перебрасывания индексов срвершенно так же, как это было указано в п° 8 § 10.

Вычисляя объем параллелепипеда, построенного на трех независимых векторах, мы получим инвариант

Величины

являются координатами дискриминантного тензора, который, очевидно, кососимметричен по всем своим индексам.

Вследствие этого его компоненты, не равные нулю, могут отличаться только знаком от его существенной компоненты

Возводя в квадрат обе части этого равенства, без труда получим

где

— дискриминант метрического тензора.

Ковариантные координаты векторного произведения двух векторов

можно вычислить по формуле

откуда

3. Ротацией векторного поля называется вектор, координаты которого определяются условиями

Обращение в нуль ротации необходимо и достаточно для того, чтобы поле было потенциальным и его вектор был градиентом

потенциала, т. е. некоторой скалярной функции

I Для того чтобы вектор был коллинеарным потенциальному ректору а, необходимо и достаточно, чтобы его ротация была к нему перпендикулярна.

Действительно, если

то

или

откуда и следует необходимость утверждения. Его достаточность доказывается в теории дифференциальных уравнений

4. Примерами криволинейных координат могут служить полярные координаты, характеризуемые соотношением

Координатные поверхности будут соответственно сферами с центром в начале координат О, плоскостями, проходящими через и круговыми конусами с вершиной в точке О и осью

Линейный элемент в полярных координатах

Цилиндрические координаты характеризуются соотношением

Координатные поверхности круговые цилиндры с осью плоскости, проходящие через и плоскости, перпендикулярные к

Линейный элемент в цилиндрических координатах