§ 22. Мера площади поверхности. Эквивалентное соответствие

Рассмотрим некоторую область точек поверхности, правильную сеть в этой области и две достаточно близкие точки этой области — с координатами и и точку (черт, 20).

Линии различных семейств сети, проходящие через эти точки, пересекаются между собой в точках и образуют криволинейный четырехугольник Будем называть элементом площади, соответствующим данному криволинейному четырехугольнику, площадь параллелограмма, построенного в касательной плоскости точки на векторах с координатами

Черт. 20.

Согласно этому определению элемент площади

Выберем теперь некоторое число линий первого и второго семейства, разобьем всю область на криволинейных четырехугольников, которым будут соответствовать элементы площади Доп, и составим сумму

Если эта сумма стремится к некоторому пределу при неограниченном увеличении числа криволинейных четырехугольников и при неограниченном уменьшении сторон каждого из них, то предел этой суммы называется мерой площади данной области точек 2.

Чтобы свести. вычисление этого предела к интегрированию, введем параметризацию линий сети, приняв за параметры значения а, (3 прямоугольных координат той точки плоскости, в которую переходит точка при отображении сети на прямоугольную декартову сеть. В таком случае для этих линий мы будем иметь

где величины более высокого порядка малости, чем Но в таком случае

где есть величина более высокого порядка малости, чем первое слагаемое правой части. Таким образом,

и при переходе к пределу вторая сумма стремится к нулю, а первая имеет своим пределом двойной интеграл, распространенный на данную область,

который и выражает меру площади

Если сеть линий, использованная нами для разбиения области, совпадает с координатной, а параметры — с криволинейными координатами, то

и интеграл (3) принимает вид

или

При преобразовании координат

где есть якобиан преобразования.

Принимая во внимание правило преобразования кратных интегралов, мы видим, что

Таким образом, мера площади не зависит от выбора сети, разбивающей область.

Так как подинтегральная функция интеграла (4) составляется из коэффициентов первой квадратичной формы, то мера поверхности принадлежит ее внутренней геометрии, т. е. не изменяется при изгибании.

2. Соответствие между точками двух поверхностей называется эквивалентным, если меры площадей любых двух соответствующих областей одинаковы.

Из (4) следует, что условием эквивалентности отображения будет равенство дискриминантов основных квадратичных форм обеих поверхностей

если эти поверхности отнесены к общей системе координат. Обобщенная эквивалентность характеризуется условием

где с — постоянное число.

В этом случае отношение площадей соответствующих областей постоянно и равно с. Иначе говоря, каждая из поверхностей находится в эквивалентном соответствии с поверхностью, подобной другой.