§ 97. Условия Ляме

Составляя условия интегрируемости системы (1) § 96, мы получим

Приравнивая нулю коэффициенты при независимых векторах и пользуясь круговой перестановкой, мы получим следующие девять условий интегрируемости всех трех уравнений системы (1):

Однако не все эти условия являются независимыми. Чтобы показать это, предположим, что криволинейные координаты совпадают с функциями поверхности уровня которых образуют данную триортогональную систему. В таком случае

и линейный элемент пространства принимает вид

Однако в таком случае компоненты трансверсальных векторов координатных направлений на поверхностях с линейными элементами

определятся по формулам (13) § 52, и мы будем иметь

Подставляя во второе из условий (1), получим

Остальные соотношения получаются из этих двух круговой перестановкой, и мы приходим к следующим шести условиям:

Эти соотношения называются уравнениями Ляме и являются условиями того, что дифференциальная форма вида (2) будет линейным элементом пространства, отнесенного к триортогональной системе координат.