§ 19. Линейный элемент и наложимость поверхностей

1. Линейным элементом поверхности называется квадрат дифференциала дуги линии, расположенной на этой поверхности, согласно (3) § 3

или

Таким образом, линейный элемент поверхности является квадратичной дифференциальной формой, коэффициенты которой совпадают с координатами метрического тензора поверхности.

Эту форму называют обычно первой квадратичной формой поверхности.

Зная зависимость коэффициентов линейного элемента от криволинейных координат и внутреннее уравнение кривой на поверхности

можно найти длину любой дуги этой кривой по формуле

2. В качестве примеров найдем линейный элемент плоскости в прямоугольных декартовых координатах у и полярных координатах Для этого заметим, что радиус-вектор точки плоскости

откуда

То же в полярных координатах

откуда

3. Образы, рассматриваемые в геометрии, обычно наделяются свойствами твердого тела. Это значит, что при перемещении рассматриваемой фигуры предполагается, что все ее размеры, т. е. длины, углы, площади и объемы ее частей, остаются неизменными. С этой же точки зрения мы рассматривали до сих пор и поверхности, наделяя их свойствами вполне твердых оболочек. Однако в отношении поверхностей можно встать и на другую точку зрения, наделив их свойствами нерастяжимой, но гибкой пленки. При этом возникает вопрос о том, какие свойства поверхности сохраняются при тех деформациях, которые не сопряжены с растяжениями, или, как

говорят, при изгибании поверхности. Две поверхности, которые можно совместить всеми их точками, подвергая одну из них изгибанию, называются наложимыми. Наложение поверхностей может быть осуществлено с помощью изгибаний, протекающих весьма различными способами. Вследствие неопределенности и видимой сложности процесса изгибания отвлечемся от него и дадим строгое, пригодное для математических исследований, понятие наложимости.

Две поверхности называются наложимыми, если между их точками можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором длины соответствующих дуг линий, расположенных на этих поверхностях, равны между собой.

Это определение вполне согласуется с приведенным выше представлением об изгибании как о деформации без растяжения. Действительно, если после изгибания одна поверхность наложена на другую, то между их точками установилось взаимно однозначное соответствие, при котором точки первой поверхности соответствуют тем, с которыми они совпадут после наложения. С другой стороны, очевидно, что после совмещения длины соответствующих дуг совпадают, однако эти длины не могли измениться при изгибании, так как такое изменение было бы сопряжено с растяжением или сжатием, которые исключаются при изгибании.

4. Чтобы получить возможность дифференциально-геометрического изучения изгибания, следует дать аналитический признак наложимости. Предположим, что поверхности и (52) наложимы. Первую из них параметризуем произвольным способом, отнеся каждой ее точке координаты Координацию на второй поверхности установим по соответствию, считая, что точка совпадающая с точкой при наложении, имеет те же криволинейные координаты на второй поверхности, что и точка на первой.

Такую параметризацию двух поверхностей мы будем называть общей по отношению к наложимости.

Рассматривая соответствующие кривые на обеих поверхностях, параметризуем их обе с помощью параметра и опять-таки так, чтобы соответствующие при наложении точки отвечали одним и тем же значениям этого параметра. В таком случае условие равенства длин двух соответствующих дуг запишется в следующем виде:

где коэффициенты линейного элемента первой и второй поверхностей соответственно.

Так как это равенство должно иметь место при любом значении то из него следует

Однако и это условие должно иметь место тождественно, т. е. при любых значениях так как оно справедливо для соответственных кривых любых направлений, проходящих через соответствующие точки. Но две квадратичные формы равны тождественно только при условии равенства их коэффициентов. Таким образом,

Итак, для того чтобы две поверхности были наложимы, необходимо, чтобы эти поверхности допускали такую параметризацию, при которой в точках этих двух поверхностей с одинаковыми криволинейными координатами были равны соответствующие коэффициенты их первых квадратичных форм.

Обратно, если такие координации возможны, то наложимость очевидна, так как, считая соответствующими точки с одинаковыми координатами, мы получим равенство (5), обеспечивающее равенство соответствующих дуг, т. е. наложимость. Указанное свойство линейного элемента выражает, кратко говоря, то, что он сохраняется при изгибании. Поверхности, отличающиеся между собой только положением в пространстве, очевидно, наложимы, однако этот случай мало интересен. Важно, что существуют наложимые друг на друга поверхности, различные по форме.

Свойства поверхности и ее частей принято согласно Гауссу разделять на две группы. Совокупность свойств, сохраняющихся при изгибании поверхности, образует ее внутреннюю геометрию, а все остальные свойства, которые существенно зависят от формы, принимаемой поверхностью во внешнем пространстве, называются внешними.

Отметим общий прием, с помощью которого доказывается, что некоторое свойство принадлежит внутренней геометрии. Этот прием состоит в указании на то, что это свойство выражается соотношением между коэффициентами первой квадратичной формы (и их производными). Так как это соотношение не может измениться при изгибании, то сохраняется и рассматриваемое свойство.