§ 32. Частные виды поверхности вращения

1. Сфера есть поверхность вращения круга вокруг его диаметра. В географических координатах ее уравнение имеет вид

а ее линейный элемент вида (2) § 30

Так как нормаль сферы направлена по ее радиусу, то

и вторая квадратичная форма сферы

т. е. только постоянным множителем отличается от ее первой квадратичной формы. Это соответствует тому все точки сферы омбилические, а кривизна любого нормального сечения обратна радиусу сферы.

2. Псевдосфера. Трактриса есть плоская кривая, характеризуемая тем свойством, что отрезок ее касательной между точкой прикосновения и некоторой прямой трактрисы) постоянен. Составим уравнение трактрисы, приняв базу за ось а угол а наклона касательной к оси за параметр (черт. 36). Если а есть длина постоянного отрезка касательной, то

откуда, интегрируя, получим

При сделанном выборе постоянного интегрирования кривая симметрична относительно оси

Черт. 36.

При кривая асимптотически приближается к базе.

Приа кривая имеет точку возврата; ее координаты

Касательная в ней совпадает с осью

Найдем кривизну трактрисы. Так как

С другой стороны, отрезок нормали между базой и точкой прикосновения

Отсюда следует

Черт. 37.

Таким образом, постоянный отрезок касательной трактрисы есть среднее пропорциональное между отрезком нормали и радиусом кривизны.

Псевдосферой называется поверхность вращения трактрисы вокруг ее базы (черт. 37).

Примем во внимание, что главные радиусы кривизны поверхности вращения равны отрезку нормали, ограниченному осью вращения, и радиусу кривизны меридиана, а также то, что выпуклость трактрисы обращена к ее базе.

Отсюда и из (4) следует, что полная кривизна псевдосферы отрицательна и постоянна или

где а — отрезок касательной меридиана, ограниченный его базой.

Обозначив угол наклона касательной (см. черт. 36) к оси вращения через а, будем иметь для ординаты точки меридиана

С другой стороны, дифференциал дуги I меридиана связан с дифференциалом ординаты точки этого меридиана соотношением

откуда

Линейный элемент поверхности вращения

принимает в нашем случае вид

Вводя новые параметры

получим линзйный элемент изотермического вида

3. Катеноид. Цепной линией называется эволюта трактрисы (см. черт. 36). Координаты центра кривизны последней, как это следует из (4),

Исключая параметр а, получим уравнение эволюты трактрисы

Это есть цепная линия, база которой совпадает с базой тракг трисы, а вершина с особой точкой трактрисы.

Чтобы найти кривизну цепной линии, используем тот факт, что длина дуги цепной линии связана с радиусом кривизны трактрисы соотношением

С другой стороны, угол наклона касательной к цепной линии

откуда следует, что ее радиус кривизны

есть отрезок нормалицепной линии, ограниченный точкой пересечения с базой. Итак, радиус кривизны цепной линии равен отрезку ее нормали между точкой прикосновения и базой

Черт. 38.

Поверхность вращения цепной линии вокруг ее базы называется катеноидом (черт. 38).

Примем снова во внимание значение главных радиусов кривизны поверхности вращения, а также и то, что выпуклость цепной линии обращена к ее базе так, что знаки главных кривизн противоположны.

Отсюда следует, что средняя кривизна катеноида равна нулю и он принадлежит классу минимальных поверхностей.

Уравнение катеноида имеет вид

а его линейный элемент

или, полагая