§ 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования
1. При вычислении частных производных удовлетворяется тождество
или
Аналогичное тождество, вообще говоря, не имеет места для второй ковариантной производной тензора и заменяется другим, более сложным.
Действительно,
Альтернируя и принимая во внимание, что 
градиент, мы получим
а свертывая с бивектором 
будем иметь в силу определения полной кривизны (1) § 78
Так как всякий кососимметричный тензор отличается от дискриминантного множителем, который легко определяется свертыванием с 
то
и соотношение (2) принимает вид
Уравнение (5) показывает, что альтернированная вторая ковариантная производная вектора обращается в нуль только на поверхностях нулевой полной кривизны.
2. Найдем выражение альтернированной производной другим способом, исходя из выражения
Дифференцируя еще один раз и альтернируя, получим
Но
Принимая во внимание, что
и меняя индекс суммирования, чтобы вынести 
за скобку, получим
где
Сравнив с (5), которое тоже справедливо для любого вектора 
приходим к следующему соотношению:
Величины 
очевидно, являются координатами тензора, который называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоффеля. Из (8) следует, что координаты этого тензора выражаются через символы Кристоффеля и их первые производные.
Вводя так называемый тензор Риччи
и пользуясь формулой (16) § 10, будем иметь
откуда получим еще одно выражение для полной кривизны
3. Из (11) следует, что
Логарифмируя, дифференцируя и пользуясь соотношением (8) § 51, получим дифференциальное уравнение
которое позволяет определить полную кривизну с точностью до постоянного множителя, если известны значения коэффициентов связности 
Заметив это, мы видим, что формула 
позволяет определить с точностью до постоянного множителя метрический тензор поверхности, полная кривизна которой отлична от нуля, если символы Кристоффеля известны.
Отсюда в свою очередь следует, что если две поверхности ненулевой кривизны находятся в таком соответствии, при котором тензор аффинной деформации
то метрические тензоры этих поверхностей связаны соотношением
которое характеризует тривиальное конформное соответствие.
