§ 43. Нормальная конгруэнция

Конгруэнция называется нормальной, если все ее лучи являются нормалями некоторой поверхности. Легко видеть, что если конгруэнция нормальна по отношению к одной поверхности

то она нормальна и по отношению к целому семейству поверхностей, определяемых уравнением

где единичный направляющий вектор луча, а с — произвольная постоянная величина.

Действительно,

и так как

то а это значит, что есть нормальный вектор поверхности (1). Любые две поверхности семейства (1) называются параллельными между собой; из п° 2 § 36 следует, что расстояние с между соответствующими точками параллельных поверхностей постоянно для любых пар этих точек.

По свойству линий кривизны лучи нормальной конгруэнции образуют вдоль них развертывающиеся поверхности, а так как эти линии пересекаются под прямым углом, то фокальные плоскости нормальной конгруэнции взаимно перпендикулярны. Но в таком случае и те направления, которые касаются сферических отображений развертывающихся поверхностей, тоже взаимно перпендикулярны, а это значит, что индикатриса тензора есть равносторонняя гипербола, а средний параметр нормальной конгруэнции

Впоследствии мы покажем, что это условие не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы конгруэнция была нормальной (см. § 60).

В заключение заметим, что фокальные поверхности нормальной конгруэнции совпадают с эволютными поверхностями тех поверхностей, которым нормальна данная конгруэнция.