§ 92. Формулы Шварца

Так как соответствующие координаты радиуса-вектора минимальной поверхности и ее присоединенной поверхности являются сопряженными гармоническими функциями, то координаты комплексной комбинации

будут аналитическими функциями на поверхности Однако аналитическую функцию достаточно задать на некоторой кривой, для того чтобы она была определена в круге сходимости, т. е. в двумерной области плоскости комплексного аргумента.

Вследствие этого формула (1) позволяет определить минимальную поверхность, если заданы принадлежащая поверхности кривая и нормальный вектор в точках этой кривой, причем являются аналитическими функциями параметра

Радиус-вектор точки поверхности определится в функции действительной и мнимой части этого параметра

по формуле

а радиус-вектор точки присоединенной поверхности

В качестве примера рассмотрим такую минимальную поверхность, которая содержит дугу окружности

причем ее нормаль в точках этой окружности лежит в плоскости окружности, т. е. определяется единичным вектором Составим комбинацию

действительная и мнимая части которой дают уравнение искомой минимальной поверхности

которая является катеноидом (п° 3 § 32), и ее присоединенной поверхности

которая есть геликоид (§ 33).