ГЛАВА XIII. ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
§ 85. Геодезически-изотермические поля на поверхности постоянной кривизны
1. Уравнение (6) § 78 принимает для геодезического поля вид
связывая полную кривизну поверхности К с геодезической кривизной ортогональных траекторий поля и ее производной по направлению линий поля.
Если полная кривизна постоянна, то можно ввести вспомогательную функцию
которая в силу (1) будет удовлетворять условию
вследствие чего разложение ее градиента по единичному вектору поля 
и его дополнительному вектору 
будет иметь вид
Но единичный вектор геодезического поля есть градиент геодезического потенциала а, вследствие чего можно рассмотреть функцию
линии уровня которой совпадают с линиями поля, так как ее градиент
Предположим теперь, что все линии поля пересекают под прямым углом некоторую кривую постоянной геодезической кривизны. Приняв эту линию за линию 
мы будем иметь вдоль нее
а так как линии поля являются линиями уровня функции 
то она постоянна и во всей области задания поля. Но в таком случае
и геодезическая кривизна ортогональных траекторий зависит только от геодезического потенциала, что является признаком геодезически-изотермического поля 
§ 56), и мы приходим к следующей теореме: всякое геодезическое поле поверхности постоянной кривизны, линии которого секут ортогонально кривую постоянной геодезической кривизны, есть изотермическое поле.
2. К аналогичному результату мы придем, рассматривая такое поле, линии которого проходят через одну точку. Отсчитывая длины геодезических дуг от этой точки, мы снова будем иметь, что при 
вследствие чего соответствующее поле будет изотермическим.
Существование бесчисленного множества геодезически-изотер-мических полей, вытекающее из доказанной теоремы, является не только необходимым, но и достаточным признаком поверхности постоянной кривизны. Действительно, если на поверхности существуют хотя бы два различных геодезически-изотермических поля, то ортогональные траектории этих полей образуют сеть, покрывающую поверхность в области их общего существования. Но в § 84 было показано, что полная кривизна остается постоянной вдоль этих ортогональных траекторий, а следовательно, и во всей области их существования.
В дальнейшем мы будем называть семейства линий геодезически-изотермических полей поверхности постоянной кривизны пучками геодезических.
