ГЛАВА IX. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ

§ 53. Геодезическая кривизна

1. Дифференцируя по натуральному параметру единичный касательный вектор

кривой на поверхности и пользуясь (14) § 51, мы получим следующее выражение вектора кривизны:

где есть нормальная кривизна кривой.

Но единичный вектор, и его абсолютный дифференциал перпендикулярен к нему, откуда

и разложение вектора кривизны принимает вид

Величина

которая равна по модулю проекции вектора кривизны на касательную плоскость поверхности, называется геодезической кривизной кривой, расположенной на поверхности.

2. Формула (5), в правую часть которой входят только величины, зависящие от коэффициентов первой квадратичной формы, показывает, что геодезическая кривизна линии на поверхности не изменяется при ее изгибании, т. е. принадлежит внутренней геометрии поверхности.

Чтобы дать геодезической кривизне такое определение, которое опирается только на понятия внутренней геометрии, рассмотрим некоторое поле единичного вектора (черт. 45) и пусть касательный

вектор кривой образует угол с вектором поля, заданным в точке кривой. В таком случае согласно (8) § 52

откуда следует, что

Рассмотрим также вектор переносящийся параллельно вдоль кривой, и пусть он образует угол с вектором поля. Тогда опять-таки согласно (8) § 52

Черт. 45.

Но в силу условия параллельного переноса следовательно,

так что

где угол между вектором переносящимся параллельно по кривой, и вектором ее касательной.

Развертывая кривую на плоскость по способу, указанному в § 49, мы не изменим ее геодезической кривизны, а также длины дуги линии и углов ежду векторами. Однако после развертывания вектор переносящийся параллельно вдоль кривой, перейдет в вектор постоянного направления. Таким образом, геодезическая кривизна линии на поверхности равна кривизне плоской кривой, которая получается при развертывании данной линии на плоскость.

3. Применив формулу (6) к линиям, совпадающим с линиями поля и к их ортогональным траекториям, т. е. положив в этих формулах последовательно

мы получим для геодезических кривизн этих линий

или

Отсюда следует, что проекции трансверсального вектора на векторы данного и дополнительного поля равны соответственно геодезическим кривизнам векторных линий этого поля и их ортогональных траекторий.

Сравнивая (9) с (11) § 52, мы видим также, что для поля единичного вектора

4. Чтобы получить развернутое выражение геодезической кривизны, подставим в (6) выражения (11) § 20 координат вектора

Отсюда

или согласно формулам (12) § 52

В частном случае ортогональной координатной сети

а для координатных линий