ГЛАВА XII. ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ

§ 78. Теорема Гаусса

1. В § 52 было показано, что трансверсальные векторы различных полей отличаются друг от друга на слагаемое, равное градиенту угла между векторами этих полей.

Вследствие этого величина ротации трансверсальных векторов или величина

не зависит от выбора векторного поля, а зависит только от той поверхности, которой принадлежит это поле.

Так как трансверсальный вектор всякого поля, принадлежащего плоскости, градиентен, то во всякой точке плоскости

Мы назовем предварительно величину К внутренней кривизной поверхности, так как она, очевидно, не изменяется при изгибании этой поверхности.

Принимая во внимание формулы (12) § 52, мы получим из (1) выражение внутренней кривизны через коэффициенты линейного элемента

в следующем виде:

В случае ортогональных координат формула принимает вид

Эта формула позволяет определить, например, внутреннюю кривизну сферы. Взяв ее линейный элемент в виде

мы получим

так что внутренняя кривизна сферы обратна по величине квадрату ее радиуса.

2. Чтобы установить геометрическое значение внутренней кривизны в общем случае, рассмотрим на поверхности односвязную область ограниченную контуром и будем, двигаясь в направлении положительного обхода, переносить по параллельно некоторый вектор начиная с некоторой его точки

Чтобы определить направление вектора в каждой точке контура, предположим, что контур пересечен линиями правильного поля единичного вектора а так, что угол

Тогда в силу (8) § 52

а интеграл

определит приращение угла после параллельного обвода вектора по замкнутому контуру

Но, применяя формулу Грина (7) § 45, мы получим

или

Таким образом, при параллельном обводе вектора по замкнутому контуру ограничивающему односвязную область точек поверхности, переносимый вектор испытывает поворот на уголг равный интегралу от внутренней кривизны по площади области Применяя теорему об интегральном среднем, мы получим

или: внутренняя кривизна поверхности в некоторой ее точке равна пределу отношения угла поворота вектора, обносимого параллельно по замкнутому контуру, стягивающемуся к данной точке, и площади, ограниченной этим контуром.

3. Заметим, что вектор принадлежащий поверхности в ее точке может считаться также принадлежащим сфере в ее точке соответствующей при сферическом отображении, так как касательные плоскости в обейх точках параллельны.

Кроме того, условие параллельного переноса (6) § 49

будет одновременно условием параллельного перенесения вектора и по поверхности и по сфере, так как опять-таки вектор является нормальным вектором обеих поверхностей в их соответствующих точках.

Итак, для того чтобы вектор переносился Параллельно вдоль некоторой кривой по поверхности, необходимо и достаточно, чтобы он переносился параллельно по кривой соответствующей при сферическом отображении, по поверхности сферы.

Предположим теперь, что контур ограничивает на поверхности односвязную область 2 такую, что полная кривизна сохраняет свой знак во всех точках этой области, и пусть есть соответствующая область сферы, ограниченная контуром

Параллельный обвод вектора по равносилен его же обводу по контуру по сфере единичного радиуса, вследствие чего угол поворота после этого обхода

где есть ориентированная площадь сферического отображения.

С другой стороны, в силу (13) § 77 эта площадь равна интегральной кривизне области

отсюда вследствие (4)

и так как равенство этих интегралов должно иметь место при произвольном выборе области точек поверхности, имеющих полную кривизну одинакового знака, то в каждой точке последней

и, таким образом, внутренняя кривизна поверхности равна ее полной кривизне.

Этот результат равносилен положению, которое известно в литературе под названием теоремы Гаусса: полная кривизна поверхности сохраняется при ее изгибании.

4. В заключение дадим еще одно выражение полной кривизны. Из выражения (9) § 53 трансверсального вектора

следует

что дает после свертывания с

формулу Лиувилля

где геодезические кривизны линий любой ортогональной сети, а дифференцирование происходит по ее направлениям.

5. Пользуясь (3) § 72 и (9) § 72, выведем закон преобразования полной кривизны при конформном отображении

или окончательно

Отсюда следует, в частности, что полная кривизна равна дивергенции вектора конформного отображения поверхности на плоскость.

6. Соотношение (1) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие того, что вектор а является трансверсальным вектором некоторого поля. Действительно, если рассмотреть трансверсальный вектор некоторого известного поля то разность

есть градиент, и поле, вектор которого получается из поворотом на угол равный потенциалу вектора имеет вектор своим трансверсальным.

Приняв во внимание (1) § 65, мы можем также утверждать, что вектор есть чебышевский вектор некоторой ортогональной сети тогда и только тогда, если

или